Bài 66 trang 49 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Dựa vào kết quả của bài 65, chứng minh rằng:

a) Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

b) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. 

Lời giải chi tiết

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) 

a) Kẻ đường trung trực của \(AC\) cắt \(BC\) tại \(K.\) 

Nối \(AK.\)

Suy ra \(AK = KC\) (tính chất đường trung trực)

Nên \(∆KAC\) cân tại \(K\)

\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{A}}C} = \widehat C\)    (1)

\(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \)  (tính chất tam giác vuông) (2)

\(\widehat {K{\rm{A}}C} + \widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat B\)

\(\Rightarrow   ∆KAB \) cân tại \(K\)

\( \Rightarrow   KA = KB\)

Nên \(K\) thuộc đường trung trực của \(AB\)

Suy ra \(K\) là giao điểm ba đường trung trực của \(∆ABC\)

Suy ra:\( KB = KC = KA\)

Nên \(K\) là trung điểm của \(BC\)

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền.

b) Theo chứng minh ở câu a) trung điểm \(K\) của \(BC\) có tính chất \(KB=KC=KA.\)

Do đó \(KA = \dfrac{1}{2}BC\)

Vậy trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.