Bài 60 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AK\) và \(CL\) cắt nhau tại \(O.\) Từ một điểm \(P\) bất kì trên cạnh \(AC\), vẽ các đường thẳng \(PE\) song song với \(AK,\) \(PF\) song song với \(CL\) (\(E\) thuộc \(BC,\) \(F\) thuộc \(AB\)). Các trung tuyến \(AK, CL\) cắt đoạn thẳng \(EF\) theo thứ tự tại \(M, N\).

Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(FM, MN, NE\) bằng nhau. 

Lời giải chi tiết

Gọi \(Q\) là giao điểm của \(PF\) và \(AK,\) \(I\) là giao điểm của \(PE\) và \(CL.\)

Vì \(O\) là giao của hai đường trung tuyến \(AK, CL\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Suy ra \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) và \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (tính chất trọng tâm)

Trong tam giác \(FPE\) có \( PE // AK\) hay \(QM // PE\)

Theo định lí Ta-lét ta có: \( \displaystyle {{FQ} \over {FP}} = {{FM} \over {FE}}\)  (1)

Trong tam giác \(ALO\) có \(PF // CL\) hay \(FQ // LO\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle  {{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}\)    (2)

Trong tam giác \(ALC\) có \(PF // CL\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}\)    (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(\displaystyle{{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \)\(\displaystyle\,\Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}\)

Vì \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}\)          (4)

Từ (1) và (4) suy ra \(\displaystyle{{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle\Rightarrow FM = {1 \over 3}FE\)

Trong tam giác \(EPF\) có \(PF // CL\) hay \(NI // PF\)

Theo định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}\)    (5)

Trong tam giác \(CKO\) có \(EI // OK\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}\)  (6)

Trong tam giác \(CKA\) có \(PE // AK\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}\)   (7)

Từ (6) và (7) suy ra: \(\displaystyle {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \)

Vì \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}\)                   (8)

Từ (5) và (8) suy ra: \(\displaystyle {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF  \)

Ta có:

\(\eqalign{  & MN = EF - \left( {EN + FM} \right)  \cr  & \;\;\;\;\;\; \;\;= EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 3}EF \cr} \)

Vậy \(EN = MN = MF.\)