Bài 54 trang 97 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O,\) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\). Gọi \(E\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) (h.39)

Chứng minh rằng :

a) \(∆ AOB\) đồng dạng \(∆ DOC\)

b) \(∆ AOD\) đồng dạng \(∆ BOC\)

c) \(EA.ED = EB.EC\).

Lời giải chi tiết

a) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (gt) hay \(\widehat {ABO} = \widehat {OCD}\)

Xét \(∆ AOB\) và \(∆ DOC\) có:

+) \(\widehat {ABO} = \widehat {OCD}\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {AOB} = \widehat {DOC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow  ∆ AOB\) đồng dạng \(∆ DOC\) (g.g)

b) Vì \(∆ AOB\) đồng dạng \(∆ DOC \) suy ra  \(\displaystyle {{AO} \over {OB}} = {{DO} \over {OC}}\)

Xét \(∆ AOD\) và \(∆ BOC\) có:

\(\displaystyle {{AO} \over {OB}} = {{DO} \over {OC}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow ∆ AOD\) đồng dạng \(∆ BOC\) (c.g.c)

c) Vì \(∆ AOD\) đồng dạng \(∆ BOC\) suy ra \(\widehat {ADO} = \widehat {BCO}\) hay \(\widehat {EDB} = \widehat {ECA}\)

Xét \(∆ EDB\) và \(∆ ECA\) có:

+) \(\widehat E\) chung

+) \(\widehat {EDB} = \widehat {ECA}\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow ∆ EDB\) đồng dạng \(∆ ECA \) (g.g)

\(\Rightarrow \displaystyle{{ED} \over {EC}} = {{EB} \over {EA}}\)

\(\Rightarrow ED.EA = EC.EB\)