Bài 57 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Từ \(A\) kẻ \(AM\) vuông góc với \(BC,\) \(AN\) vuông góc với \(CD\) (\(M\) thuộc \(BC\) và \(N\) thuộc \(CD\)). Chứng minh rằng tam giác \(MAN\) đồng dạng với tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

* Trường hợp \(\widehat B\) nhọn:

Xét \(∆ AMB\) và \(∆ AND\) có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \)

\(\widehat B = \widehat D\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\( \Rightarrow  ∆ AMB\) đồng dạng \(∆ AND\) (g.g)

\( \displaystyle \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}  \)

Mà \(AD = BC\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\( \displaystyle \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)

Lại có: \(AB // CD\) (gt)

           \(AN ⊥ CD\) (gt)

\(\Rightarrow AN ⊥ AB\) hay \(\widehat {NAB} = {90^o}\).

\(\Rightarrow \widehat {NAM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)   (1)

Trong tam giác vuông \(AMB\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \)

\(\Rightarrow \widehat {MAB} + \widehat B = 90^\circ \)               (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {NAM} = \widehat B\)

Xét \(∆ ABC\) và \(∆ MAN\) có:

\( \displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)  (chứng minh trên)

 \(\widehat {NAM} = \widehat B\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ MAN \) (c.g.c)

* Trường hợp \(\widehat B\) tù:

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;\;AD//BC\).

Vì \(AB//CD\) nên \(\widehat {ABM} =\widehat C\) (cặp góc đồng vị).

Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {ADN}=\widehat C\) (cặp góc đồng vị).

Xét \(∆ AMB\) và \(∆ AND\) có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}\) (vì cùng bằng \(\widehat C\))

\(\Rightarrow ∆ AMB\) đồng dạng \(∆ AND\) (g.g)

\( \displaystyle \Rightarrow  {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}\)

Mà \(AD = BC\)  (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\( \displaystyle \Rightarrow{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)

Vì \(AB // CD\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ \) (cặp góc trong cùng phía)  (3)

Tứ giác \(AMCN\) có \(\widehat {AMC} = \widehat {AND} = 90^\circ \)

\(\Rightarrow \widehat {MAN} + \widehat C = 180^\circ \)        (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\)

Xét \(∆ MAN\) và \(∆ ABC\) có:

\( \displaystyle {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow  ∆ MAN\) đồng dạng \(∆ ABC\) (c.g.c)