Bài 50 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Trong đường tròn \((O; R)\) cho một dây \(AB\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây \(BC\) bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm \(C\) và điểm \(A\) ở cùng một phía đối với \(BO\)). Tính các cạnh của tam giác \(ABC\) và đường cao \(AH\) của nó theo \(R.\)

Lời giải chi tiết

Dây \(AB\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn \((O; R)\) nên \(AB = R\sqrt 2 \) và cung \(\overparen{AB}\) nhỏ có  \(sđ \overparen{AB}=360^0:4=90^\circ\).

Dây \(BC\) bằng cạnh hình tam giác đều nội tiếp đường tròn \((O; R)\) nên \(BC = R\sqrt 3 \) và cung nhỏ \(\overparen{BC}\) có  \(sđ \overparen{BC}= 360^0:3=120^\circ \).

\( \Rightarrow  sđ \overparen{AC} = sđ \overparen{BC} - sđ \overparen{AB}\) \(=120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AC}=15^\circ\) (tính chất góc nội tiếp)

Trong \(∆AHB\) có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow AH = AB.\sin \widehat {ABH} \)\(= R\sqrt 2 .\sin 15^\circ  \approx 0,36R\)

Trong \(∆AHC\) có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACB} = \displaystyle{1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}=45^\circ\) (tính chất góc nội tiếp)

\(AC =\displaystyle {{AH} \over {\sin \widehat {ACH}}} \)\(=\displaystyle {{AH} \over {\sin 45^\circ }} \approx {{0,36R} \over {\sin 45^\circ }} \approx 0,51R\)