Bài 47 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

\(a)\) Vẽ một lục giác đều \(ABCDEG\) nội tiếp đường tròn bán kính \(2cm\) rồi vẽ hình \(12\) cạnh đều \(AIBJCKDLEMGN\) nội tiếp đường tròn đó. Nêu cách vẽ.

\(b)\) Tính độ dài cạnh \(AI.\)

\(c)\) Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp hình \(AIBJCKDLEMGN.\)

Hướng dẫn. Áp dụng các công thức ở bài \(46.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Cách vẽ:

− Vẽ đường tròn \((0; 2cm)\) 

− Từ điểm \(A\) trên đường tròn \((0; 2cm)\) đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây căng cung \(2cm.\)

\(\overparen{AB}\) \( =\overparen{BC}\) \( =\overparen{CD}\) \( =\overparen{DE}\) \( =\overparen{EG}\)

Nối \(AB, BC, CD, DE, EG, GA\) ta có lục giác đều \(ABCDEG\) nội tiếp trong đường tròn \((0; 2cm).\)

− Kẻ đường kính vuông góc với \(AB\) và \(DE\) cắt đường tròn tại \(I\) và \(L.\)

Ta có: \(\overparen{AI}= \overparen{IB};\) \(\overparen{LD} =\overparen{LE}\)

− Kẻ đường kính vuông góc với \(BC\) và \(EG\) cắt đường tròn tại \(J\) và \(M.\)

\(\overparen{BJ} = \overparen{JC}\); \(\overparen{ME} = \overparen{MG}\)

− Kẻ đường kính vuông góc với \(CD\) và \(AG\) cắt đường tròn tại \(N\) và \(K.\)

\(\overparen{KC}= \overparen{KD};\) \(\overparen{NA} = \overparen{NG}\)

Nối \(AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL,\) \(LE,\) \(EM,\) \(MG,\) \(GN,\) \(NA\)

Ta có đa giác đều \(12\) cạnh \(AIBJCKDLEMGN.\)

\(b)\) \(AI\) là cạnh của đa giác đều \(12\) cạnh.

Kẻ \(OH ⊥ AI\)

\(\widehat {IOH} = \displaystyle{{180^\circ } \over {12}} = 15^\circ \)

Xét tam giác vuông \(IOH\) có: \(OI = \displaystyle{{HI} \over {\sin \widehat {IOH}}} \)

\(\Rightarrow OI = \displaystyle{{AI} \over {2\sin \widehat {IOH}}}\)

\(\Rightarrow AI = OI.2\sin \widehat {IOH}\)

\(AI = 2. 2sin15^\circ  \approx \)\( 1,04 (cm)\)

\(c)\) \(OH = r\) bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều \(12\) cạnh.

Trong tam giác vuông \(OHI\) ta có \(OH = OI.{\rm{cos}}\widehat {HOI} = 2.c{\rm{os15}}^\circ  \approx {\rm{1,93 (cm) }}\)