Giải bài 4.62 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,CD.\) Lấy \(P\) thuộc đoạn \(DM\) và \(Q\) thuộc đoạn \(BN\) sao cho \(DP = 2PM,\,\,BQ = xQN.\) Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow v .\)

a) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {AQ} \) qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)

b) Tìm \(x\) để \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DP} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {DM} \\ = \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \\ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow u  + \frac{1}{3}\overrightarrow v \end{array}\)

Ta có: \(BQ = xQN\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BQ}  = x\overrightarrow {QN} \)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AQ}  - \overrightarrow {AB}  = x\left( {\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AQ} } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AN} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AB}  + x\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} } \right) = x\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow {AD}  + \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow v  + \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)\overrightarrow u \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AQ}  = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u  + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \end{array}\)

b) Để \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AP} \) và \(\overrightarrow {AQ} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \,\,\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}:\frac{1}{3} = \frac{x}{{x + 1}}:\frac{1}{3}\) (Điều kiện: \(x \ne  - 1\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\frac{{x + 2}}{2} = x\\ \Leftrightarrow \,\,2x = x + 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \,\,x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 2\) thì \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng