Bài 45 trang 140 Vở bài tập toán 7 tập 1

Đề bài

Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường thẳng \(a.\) Vẽ cung tròn tâm \(A\) cắt đường thẳng \(a\) ở \(B\) và \(C.\) Vẽ các cung tròn tâm \(B\) và tâm \(C\) có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại một điểm khác \(A\), gọi điểm đó là \(D\). Hãy giải thích vì sao \(AD\) vuông góc với đường thẳng \(a.\)

Lời giải chi tiết

+) \(∆ABD\) và \(∆ACD\) có:

\(AB = AC\) (bằng bán kính cung tròn tâm \(A\))

\(DB = DC\) (vì cung tròn tâm \(B\) và tâm \(C\) có cùng bán kính)

\(AD\) cạnh chung

Do đó \(∆ABD = ∆ACD\) (c.c.c) suy ra \( \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng).

+) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AD\) và \(a.\)

\(∆AHB\) và \(∆AHC\) có:

\(AB = AC\) (bằng bán kính cung tròn tâm \(A\))

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên)

\(AH\) cạnh chung

Do đó \( ∆AHB = ∆AHC\) (c.g.c)

suy ra \(  \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai góc tương ứng)

Ta lại có \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {180^o}\) (hai góc kề bù) nên \(  \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = {90^o}\).

Vậy \(AH ⊥ a\) tức là \(AD\bot a\).