Bài 43 trang 85 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang \(ABCD\) có \(AB // CD,\) \(AB = a,\) \(BC = b,\) \(CD = c,\) \(DA = d.\) Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh \(A\) và \(D\) cắt nhau tại \(M,\) các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(N.\)

\(a)\) Chứng ninh rằng \(MN // CD.\)

\(b)\) Tính độ dài MN theo \(a, b, c, d\) (\(a, b, c, d\) có cùng đơn vị đo)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(M’\) và \(N’\) là giao điểm của tia \(AM\) và \(BN\) với \(CD.\)

Vì ABCD là hình thang nên \(AB//CD\) hay \(AB//M'N'\)

Suy ra \(ABN'M'\) cũng là hình thang.

Ta có:

Vì \(AB//M'N'\) nên \(\widehat {M'} = {\widehat A_2}\) (hai góc so le trong)

\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (do AM' là phân giác góc ngoài tại đỉnh A)

Suy ra: \(\widehat {M'} = {\widehat A_1}\) 

Nên \(∆ ADM’\) cân tại \(D\)

Có \(DM\) là phân giác của \(\widehat {ADM'}\) 

Suy ra: \(DM\) là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

\(⇒ AM = MM’\) (1)

Vì \(AB//M'N'\) nên \(\widehat {N'} = {\widehat B_2}\) (hai góc so le trong)

\({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (do BN' là phân giác góc ngoài tại đỉnh B)

Suy ra: \(\widehat {N'} = {\widehat B_1}\) 

Nên \(∆ BCN’\) cân tại \(C\)

Có \(CN\) là phân giác của \(\widehat {BCN'}\)

Suy ra: \(CN\) là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

\(⇒ BN = NN’\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABN’M’\)

\(⇒ MN // M’N’\) (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay \(MN // CD\)

\(b)\) \(MN =\displaystyle  {{AB + M'N'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow MN = \displaystyle  {{AB + M'D + CD + CN'} \over 2}\;\,( * )\)

Mà \(M’D = AD\) (vì \(∆ ADM’\) cân tại \(D\)) và \(CN’ = BC\) (vì \(∆ BCN’\) cân tại \(C\))

Thay vào \((*)\) ta được: 

\(MN = \displaystyle  {{AB + AD + CD + BC} \over 2}\)\( = \displaystyle {{a + d + c + b} \over 2}\)