Giải bài 43 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 1\), \(q = 3\).

a)    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b)    Giả sử tổng \(m\) số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \( - 364\). Tìm \(m\)

c)     Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Do \(q = 3\) nên tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} =  - \frac{{{3^{10}} - 1}}{2}\)

b) Do tổng của \(m\) số hạng đầu là \( - 364\), nên ta có \({S_m} = {u_1}\frac{{1 - {q^m}}}{{1 - q}} =  - 364\)

\( \Rightarrow \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {3^m}}}{{1 - 3}} =  - 364 \Rightarrow \frac{{{3^m} - 1}}{2} = 364 \Rightarrow {3^m} - 1 = 728 \Rightarrow {3^m} = 729 \Rightarrow m = 6\).

Vậy \(m = 6\).

c) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\). Ta có \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} :\frac{1}{{{u_n}}} = \frac{1}{{\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}}} = \frac{1}{3}\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{ - 1}} =  - 1\) và công bội \(q' = \frac{1}{3}\).

Vậy \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}} = {v_1} + {v_2} + {v_3} + {v_4} + {v_5}\)

\( = v{\rm{\_1}}\frac{{1 - {{\left( {q'} \right)}^5}}}{{1 - q'}} = \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^5}}}{{1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)}} =  - \frac{{121}}{{81}}\)