Giải bài 39 trang 55 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40\end{array} \right.\)                 

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_2}.{u_5} = 243\end{array} \right.\)                          

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({u_3} = {u_2}q \Rightarrow {u_2} = \frac{{{u_3}}}{q} = \frac{{16}}{q}\), \({u_4} = {u_3}q = 16q\)

Mà \({u_2} + {u_4} = 40\), suy ra \(\frac{{16}}{q} + 16q = 40 \Rightarrow 16 + 16{q^2} = 40q\)

\( \Rightarrow 16{q^2} - 40q + 16 = 0 \Rightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: \(q = \frac{1}{2}\). Ta có \({u_3} = 16 \Rightarrow {u_1}{q^2} = 16 \Rightarrow {u_1}.\frac{1}{4} = 16 \Rightarrow {u_1} = 64\)

Trường hợp 2: \(q = 2\). Tương tự, ta có \({u_1} = 4\).

b) Ta có \({u_2}.{u_5} = {u_1}.q.{u_1}.{q^4} = {u_1}.\left( {{u_1}.{q^5}} \right) = {u_1}.{u_6}\).

Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_1}.{u_6} = 243\end{array} \right.\)

Theo định lí Viète, \({u_1}\) và \({u_6}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 244X + 243 = 0\)

Phương trình trên có 2 nghiệm \(X = 1\) và \(X = 243\). Ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \({u_1} = 1\) và \({u_6} = 243\). Do \({u_6} = {u_1}{q^5}\), ta suy ra \({q^5} = 243 \Rightarrow q = 3\).

Trường hợp 2: \({u_1} = 243\) và \({u_6} = 1\). Do \({u_6} = {u_1}{q^5}\), ta suy ra \({q^5} = \frac{1}{{243}} \Rightarrow q = \frac{1}{3}\).

c) Ta có

\({u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = {u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)\);

\({u_4} + {u_5} + {u_6} = {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = {u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right)\).

Vậy \(\frac{{13}}{{351}} = \frac{{{u_1} + {u_2} + {u_3}}}{{{u_4} + {u_5} + {u_6}}} = \frac{{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{1}{{{q^3}}}\)

Suy ra \({q^3} = \frac{{351}}{{13}} = 27 \Rightarrow q = 3\). Từ đó \({u_1} = \frac{{13}}{{1 + q + {q^2}}} = \frac{{13}}{{1 + 3 + {3^2}}} = 1\).