Bài 4.29 trang 206 SBT giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Lời giải chi tiết

Nếu \(z = a + bi\) thì \(\overline z  = a - bi\)

\(z + \overline z  =a+bi+a-bi= 2a \in \mathbb{R};\)

\(z.\overline z   = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) \) \(= {a^2} - {\left( {bi} \right)^2}= {a^2} + {b^2} \in \mathbb{R}\)

Khi đó \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\bar z = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).