Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (hình 16)

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm

Lời giải chi tiết

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)   (với a,b>0)

Ta có chiều cao 8 m nên \(OA = h = 5\), chiều rộng của vòm là 20 m, suy ra \(BC = 2OB = 20 \Rightarrow OB = 10\)

Từ đó ta có tọa độ các điểm: \(C(10;0),A(0;5)\)

Thay hai điểm đó vào phương trinh chính tắc ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 5\end{array} \right.\)

Suy ra, phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

b) Điểm đó cách chân tưởng 5 m tương ứng cách tâm 5 m (vì từ tâm vòm đến tưởng là 10 m)

Thay \(x = 5\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\), ta tìm được \(y = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\) m