Bài 36 trang 112 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = DC\) và \(\widehat {BCD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}.\)

a) Chứng minh \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \(A, B, C, D.\)

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết : \(\widehat {DCB} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = 30^\circ \)       (1)

\(\widehat {DCB} = \widehat {DBC}\) vì \(\Delta BDC\) cân tại D do \(DB=DC\)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {DBC} = 30^\circ \)

Trong tứ giác \(ABCD\) ta có : \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} + \widehat {CBA} = 30^\circ  + 60^\circ\)\(  = 90^\circ ;\)

\(\widehat {ACD} = \widehat {DCB} + \widehat {BCA} = 30^\circ  + 60^\circ \)\( = 90^\circ \)

nên \(\widehat {ABD} + \widehat {DCA} = 180^\circ .\) Vậy  tứ giác \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp ( hai góc đối nhau có tổng bằng \(180^\circ \))

b) Vì \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \) nên \(AD\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD.\)

Vậy tâm đường tròn đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\) là trực tâm của tam giác đều \(ABC\) và là trung điểm của đoạn thẳng \(AD.\)