Bài 3.48 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tính tổng :

a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) ;

b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}.\)

Lời giải chi tiết

a) Với \(a = 1,\) ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\)

Giả sử \(a \ne 1.\) Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) với \(a\)  ta được:

\(a.{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n}\)

\( \Rightarrow {S_n} - a.{S_n} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^n}\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right){S_n} = \dfrac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} - n{a^n}\) \( = \dfrac{{{a^n} - 1 - n\left( {a - 1} \right){a^n}}}{{a - 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^n} - 1 - n{a^{n + 1}}}}{{a - 1}}\)

\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right){S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\)

b) Nếu \(x = 0\) thì \(S = 0\)

Nếu \(x \ne 0\), chia cả hai vế của \({S_n}\) cho \(x\) ta được:

\(\dfrac{{{S_n}}}{x} = 1 + 2x + 3{x^3} + ... + n{x^{n - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_n}}}{x} - {S_n} = 1 + x + {x^2} + ... + {x^{n - 1}} - n{x^n}\\ \Leftrightarrow \frac{{{S_n} - x{S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1}}{{x - 1}} - n{x^n} \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right){S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1 - n{x^n}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right){S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1 - n{x^{n + 1}} + n{x^n}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x}{S_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n} - 1 - n{x^{n + 1}}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{x}{S_n} = \frac{{n{x^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){x^n} + 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{n{x^{n + 2}} - n{x^{n + 1}} + x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)