Bài 3.41 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{    voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_2} = \frac{{\left( {1 + 1} \right){u_1}}}{{3.1}} = \frac{{2.\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{9}\\
{u_3} = \frac{{\left( {2 + 1} \right){u_2}}}{{3.2}} = \frac{{3.\frac{2}{9}}}{6} = \frac{1}{9}\\
{u_4} = \frac{{\left( {3 + 1} \right).{u_3}}}{{3.3}} = \frac{{4.\frac{1}{9}}}{9} = \frac{4}{{81}}\\
{u_5} = \frac{{\left( {4 + 1} \right).{u_4}}}{{3.4}} = \frac{{5.\frac{4}{{81}}}}{{12}} = \frac{5}{{243}}
\end{array}\)

Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)

LG b

Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Từ công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}}  = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\dfrac{{{u_n}}}{n}\)

\(= \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{                       }}\left( 1 \right)\)

Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{                                }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.\dfrac{n}{{n + 1}}= \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)

Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_n} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)

LG c

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)

Phương pháp giải:

Tính \(\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) tìm công thức của \({v_n}\), từ đó suy ra \({u_n}\) .

Lời giải chi tiết:

Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)

Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)