Bài 3.36 trang 179 SBT giải tích 12

Giải bài 3.36 trang 179 sách bài tập giải tích 12. Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?...


Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

LG a

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  \pi  \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  x + \sin x = x \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \) \(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left( { - \sin x} \right)dx}  = \left. {\cos x} \right|_\pi ^{2\pi }\) \(\displaystyle   = \cos 2\pi  - \cos \pi  = 1 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).


LG b

\(\displaystyle  \;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\);

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx} \) \(\displaystyle   =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \)\(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\cos xdx} \) \(\displaystyle   = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)

\(\displaystyle   = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \sin \pi  + \sin \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle   = 1 - 0 - 0 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).


LG c

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \sqrt x  = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = {x^4}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  \sqrt {1 - {x^2}}  = 1 - x\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - {x^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\1 - {x^2} = 1 - 2x + {x^2}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\2{x^2} - 2x = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - \left( {1 - x} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right)dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - \int\limits_0^1 {dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - 1 + \frac{1}{2}} \right|\) \(\displaystyle   = \left| {I - \frac{1}{2}} \right|\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \).

Đặt \(\displaystyle  x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\) \(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} \)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} \ne {S_2}\).



Từ khóa phổ biến