Bài 3.33 trang 131 SBT đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

LG a

Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết có

\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{   }}\left( 1 \right)\)

Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{  }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được

\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)

Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} =  - \dfrac{1}{3}.\)

LG b

Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.

Phương pháp giải:

Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({x_n} =  - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}
{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\\
\Rightarrow {u_n} - 1 = {x_n}\left( {{u_n} + 3} \right)\\
\Leftrightarrow - 1 - 3{x_n} = {u_n}\left( {{x_n} - 1} \right)\\
\Rightarrow {u_n} = \frac{{ - 1 - 3{x_n}}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{3{x_n} + 1}}{{1 - {x_n}}}\\
= \frac{{3.\left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right] + 1}}{{1 - \left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right]}}\\
= \frac{{ - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}}
\end{array}\)