Bài 3.30 trang 131 SBT đại số và giải tích 11

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết

LG a

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}{q^3} - {u_1}q = 6\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}\left( {{q^3} - q} \right) = 6.\end{array} \right.{\rm{      }}\left( 1 \right)\)

Do (1) nên \(q \ne  \pm 1,\) suy ra \(\dfrac{{15}}{6} = \dfrac{{{q^4} - 1}}{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \dfrac{{{q^2} + 1}}{q}.\)

Biến đổi về phương trình \(2{q^2} - 5q + 2 = 0.\)

Giải ra được \(q = 2\) và \(q = \dfrac{1}{2}.\)

Nếu \(q = 2\) thì \({u_1} = 1.\)

Nếu \(q = \dfrac{1}{2}\) thì \({u_1} =  - 16.\)

LG b

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_4} + {u_5} = 10\\{u_3} - {u_5} + {u_6} = 20\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\{u_1}{q^2} - {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 20\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\q\left( {{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4}} \right) = 20\end{array} \right.\)

Lấy pt dưới chia cho pt trên vế với vế ta được q=2.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\2{u_1} - 8{u_1} + 16{u_1} = 10\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 1,q = 2.\)