Bài 3.24 trang 172 SBT giải tích 12

Đề bài

Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:

a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}  + \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin xdx}  + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \)

b) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}} \right)dx}  = 0\)

c) \(\int\limits_{ - \dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}} {\ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}dx}  = 0\)

d) \(\int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1} \right)dx}  = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Đúng (vì vế trái bằng \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0} \))

b) Đúng vì \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt[3]{{\sin x}}dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt[3]{{\cos x}}dx} \) (theo bài 3.22) nên \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}} \right)dx}  = 0\).

c) Đúng vì hàm số \(f\left( x \right) = \ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}\) là hàm số lẻ nên \(\int\limits_{ - \dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}} {\ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}dx}  = 0\) (theo bài 3.21).

Chú ý: Cách chứng minh hàm số lẻ: Kiểm tra \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\) trên tập xác định \(D\) đối xứng.

d) Sai: Vì \(1 + \dfrac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]\).