Bài 3.23 trang 172 SBT giải tích 12

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)

LG câu a

a) Chứng minh rằng \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(u = {\sin ^{n - 1}}x\) và \(dv = \sin xdx\)

Giải chi tiết:

Xét với \(n > 2\), ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \)

Dùng tích phân từng phần với \(u = {\sin ^{n - 1}}x\) và \(dv = \sin xdx\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}du = \left( {n - 1} \right){\sin ^{n - 2}}x\cos xdx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\)

\({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx} \)\( = \left. { - \cos x{{\sin }^{n - 1}}x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\) \( + (n - 1)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)

\( = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x} \right)dx} \)\( = \left( {n - 1} \right){I_{n - 2}} - \left( {n - 1} \right){I_n}\)

Vậy \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}}\)

LG câu b

b) Tính \({I_3}\) và \({I_5}\).

Phương pháp giải:

Thay \(n = 3,n = 5\) vào tính \({I_3},{I_5}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)\( = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1\).

Suy ra \({I_3} = \dfrac{{3 - 1}}{3}{I_1} = \dfrac{2}{3}.1 = \dfrac{2}{3}\); \({I_5} = \dfrac{{5 - 1}}{5}{I_3} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{15}}\).

Vậy \({I_3} = \dfrac{2}{3},{I_5} = \dfrac{8}{{15}}\).