Bài 3.22 trang 172 SBT giải tích 12

Đề bài

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)

Lời giải chi tiết

Đổi biến số \(x = \dfrac{\pi }{2} - t\), ta được: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} \)\( =  - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left[ {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - t} \right)} \right]dt} \) \( = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos t)dt} \)

Hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)