Bài 31 trang 90 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có ba đường trung tuyến cắt nhau tại \(O.\) Gọi \(P, Q, R\) thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(OA, OB, OC.\)

Chứng minh rằng tam giác \(PQR\) đồng dạng với tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

Xét \( ∆ OAB\) có \(PQ\) là đường trung bình nên \(\displaystyle PQ = {1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow \displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\)        (1)

Xét \(∆ OAC\) có \(PR\) là đường trung bình nên \(\displaystyle  PR = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \displaystyle {{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\)         (2)

Xét \(∆ OBC\) có \(QR\) là đường trung bình nên \(\displaystyle QR = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )

\( \Rightarrow \displaystyle{{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\)          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}}= {1 \over 2}\)

Vậy \(∆ PQR\) đồng dạng \(∆ ABC\) (c.c.c).