Giải bài 3 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(x >  - 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({(1 + x)^1} = 1 + 1.x\)

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)

Giải sử mệnh đề đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({(1 + x)^k} \ge 1 + kx\)

Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x\)

Thật vậy, ta có

\({(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x\)

Do \(1 + x > 0,k{x^2} \ge 0\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).