Giải bài 2.7 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n - 3)}}{2}.\)

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n - 3)}}{2}\) (*) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 4\) ta có số đường chéo của một tứ giác là \(\frac{{4(4 - 3)}}{2} = 2\)

Vậy (*) đúng với \(n = 4\)

Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có số đường chéo của một đa giác k cạnh là \(\frac{{k(k - 3)}}{2}\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh số đường chéo của một đa giác k+1 cạnh là \(\frac{{(k + 1)(k - 2)}}{2}\)

Thật vậy, xét đa giác \({A_1}{A_2}...{A_{k + 1}}\) ta có:

So với đa giác \({A_1}{A_2}...{A_k}\), thì đa giác \({A_1}{A_2}...{A_{k + 1}}\) có thêm các đường chéo là \({A_1}{A_k}\)và \({A_2}{A_{k + 1}},{A_3}{A_{k + 1}},...,{A_{k - 1}}{A_{k + 1}}\) (nhiều hơn k-1 đường chéo)

Do đó số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là:

\(\frac{{k(k - 3)}}{2} + k - 1 = \frac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2} = \frac{{{k^2} - k - 2}}{2} = \frac{{(k + 1)(k - 2)}}{2}.\)

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 4\).