Bài 2.3 trang 100 SBT giải tích 12

Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

LG a

\( \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big( a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big)} {a^{\dfrac{1}4}{\Big( a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big)}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

Với a và b là các số dương ta có:

\( \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big( a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big)} {a^{\dfrac{1}{4}}\Big( a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big)}\)

\(= \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}. a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}}.a^{\dfrac{4}{3}} } {a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{-1}{4}}}\)

\(= \dfrac{a^1 + a^2}{a^1 + a^0} = \dfrac{a\Big( a + 1\Big)}{a + 1} =a \)

LG b

\( \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

\( \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)

\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{2}} + b^{\dfrac{1}{3}}a^{\dfrac{1}{2}}}{ a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)

\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big(b^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}}+ a^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \Big)}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)

\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big(b^{\dfrac{1}{6}} +a^{ \dfrac{1}{6}} \Big)}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)

\( = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\) \(=\sqrt[3]{ab} \)

LG c

\( \Big( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big)( a^{\dfrac{2}{3}} + b^{\dfrac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big) \)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)

Lời giải chi tiết:

\(\Big( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big)( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big) \)

\(\begin{array}{l}
= \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)\\
= \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {{\left( {ab} \right)}^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)
\end{array}\)

\(= \Big( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\Big) \Big( a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}. b^{\frac{1}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}\Big)\)

\( = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left[ {{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {{\left( {{b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}} \right]\)

\(= {\Big( a^{\frac{1}{3}} \Big) }^{3} + {\Big( b^{\frac{1}{3}} \Big) }^{3}\)

\(= a + b\)

LG d

\(\Big( a^{\dfrac{1}{3}} + b^{\dfrac{1}{3}} \Big) : \Big( 2 + \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\Big).\)

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu thức tổng trong ngoặc và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\frac{{2\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + {{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right).\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}
\end{array}\)