Bài 2.24 trang 77 SBT hình học 11

Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M\) và \(N\) lần lượt cắt \(AD\) và \(AF\) tại \(M’\) và \(N’\). Chứng minh

Hình vẽ

LG a

\(\left( {A{\rm{D}}F} \right)\parallel \left( {BCE} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và \(d\) song song với \(d’\) nằm trong \((\alpha)\) thì \(d\) song song với \((\alpha)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset (\alpha )\\d\parallel d'\\d' \subset (\alpha )\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel (\alpha )\)

Sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a, b\) và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \((\beta)\) thì mặt phẳng \((\alpha)\) song song với mặt phẳng \((\beta)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset (\alpha ),b \subset (\alpha )\\a\text{ cắt }b\\a\parallel (\beta ),b\parallel (\beta )\end{array} \right. \Rightarrow (\alpha )\parallel (\beta )\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AD\parallel BC\\BC \subset (BCE)\end{array} \right. \Rightarrow AD\parallel (BCE)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AF\parallel BE\\BE \subset (BCE)\end{array} \right. \Rightarrow AF\parallel (BCE)\)

Mà \(AD, AF\subset (ADF)\)

Nên \((ADF)\parallel (BCE)\).

LG b

\(M'N'\parallel DF\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Talet.

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD\) và \(ABEF\) là các hình vuông nên \(AC=BF\)

Ta lại có \(MM’\parallel CD\Rightarrow \dfrac{AM’}{AD}=\dfrac{AM}{AC}\)

Và \(NN’\parallel AB\Rightarrow \dfrac{AN’}{AF}=\dfrac{BN}{BF}\)

Suy ra \(\dfrac{AM’}{AD}=\dfrac{AN’}{AF}\Rightarrow M’N’\parallel DF\).

LG c

\(\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MM'N'N} \right)\) và \(MN\parallel \left( {DEF} \right)\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và \(d\) song song với \(d’\) nằm trong \((\alpha)\) thì \(d\) song song với \((\alpha)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset (\alpha )\\d\parallel d'\\d' \subset (\alpha )\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel (\alpha )\)

Sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a, b\) và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \((\beta)\) thì mặt phẳng \((\alpha)\) song song với mặt phẳng \((\beta)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset (\alpha ),b \subset (\alpha )\\a\text{ cắt }b\\a\parallel (\beta ),b\parallel (\beta )\end{array} \right. \Rightarrow (\alpha )\parallel (\beta )\)

Sử dụng tính chất khi \((\alpha)\) song song với \((\beta)\) thì \((\alpha)\) sẽ song song với mọi đường thẳng thuộc \((\beta)\).

Sử dụng tính chất khi \((\alpha)\parallel (\beta)\) thì \((\alpha)\) song song với mọi đường thuộc \((\beta)\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}DF\parallel M'N'\\M'N' \subset (MM'N'N)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow DF\parallel (MM'N'N)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}NN'\parallel AB \Rightarrow NN'\parallel {\rm{EF}}\\NN' \subset (MM'N'N)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow EF\parallel (MM'N'N)\)

Mà \(DF, EF\subset (DEF)\) nên \((DEF)\parallel (MM’N’N)\).

Vì \((MM’N’N)\parallel (DEF)\) và \(MN\subset (MM’N’N)\) suy ra \(MN\parallel (DEF)\).