Giải bài 2.21 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

a) \({u_n} =  - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\);                                     

b) \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\);

Lời giải chi tiết

a) Từ \({u_n} =  - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) suy ra \({u_{n + 1}} =  - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}\)

Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\forall n\)

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \({u_1} = \frac{{ - 3}}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

b) Từ \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\) suy ra \({u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}\)

Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}}}{{\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}}} = \frac{2}{3}\forall n\)

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \({u_1} = 2\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\)