Bài 1.71 trang 39 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x - 5\) có cực trị.

A. \(m > 0\)                   B. \( - 1 < m < 1\)

C. \(m \le 0\)                  D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 1} \right)\).

Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left( {m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 2m + 1 + m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 2 > 0\)

Tam thức m² - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì \({\Delta _m}\) = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0

Do đó phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với \(\forall m \in \mathbb{R}\), hàm số đã cho luôn có cực trị.

Chọn D.