Bài 1.68 trang 38 SBT giải tích 12

Đề bài

Hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi:

A. \(m = 1\)            B. \(m = 2\)

C. \(m =  - 3\)        D. \(m = 4\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m\); \(y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2\left( {m + 3} \right) + m = 0\\6 + 2\left( {m + 3} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 9 = 0\\
2m + 12 > 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 3\\m >  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 3\)

Chọn C.

Cách khác:

y' = 3x² + 2(m + 3)x + m

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì

y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = -3

Với m = -3, y' = 3x² - 3 ⇒ y''(x) = 6x.

Vì y''(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1. (thỏa mãn)

Vậy m = -3.