Bài 164 trang 101 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.

a. Tính khoảng cách từ I đến AB

b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?

Lời giải chi tiết

a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB

⇒ CE // DF // IH

IC = ID (gt)

nên IH là đường trung bình của hình thang DCEF

\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) (1)

C là tâm hình vuông AMNP

⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C

CE ⊥ AM ⇒ CE là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ CE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM

D là tâm hình vuông BMLK ⇒ ∆ DBM vuông cân tại D

DF ⊥ BM

⇒ DF là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM

Vậy CE + DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM + \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM

= \(\displaystyle {1 \over 2}\) (AM + BM) = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB = \(\displaystyle {a \over 2}\)

⇒ IH = \(\displaystyle {{\displaystyle {a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\)

b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN

Ta có: AN ⊥ MP (tính chất hình vuông)

BL ⊥ MK (tính chất hình vuông)

MP ⊥ MK (tính chất hai góc kề bù)

Suy ra: BL ⊥ AN ⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định.

M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)  nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)

Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ

Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ

Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) .