Bài 15 trang 78 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

a) Cho tam giác \(ABC\) với đường trung tuyến \(AM\) và đường phân giác \(AD\). Tính diện tích tam giác \(ADM\), biết \(AB= m, AC= n\;( n>m)\) và diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S\).

b) Cho \(n = 7cm, m = 3cm\). Hỏi diện tích tam giác \(ADM\) chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết

a) Từ tính chất của đường phân giác \(AD\) (h.22), ta có:

\(\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}= \dfrac{m}{n}\)

Từ tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\dfrac{{BD}}{{DC + BD}} = \dfrac{m}{{n + m}}\)

hay \(\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{m}{{n + m}} \Rightarrow BD = \dfrac{m}{{n + m}}BC\)

\(DM=BM-BD\)\(\,=\dfrac{1}{2}BC - \dfrac{m}{{n + m}}BC \)\(\,= \dfrac{{n + m - 2m}}{{2\left( {n + m} \right)}}BC\)

Rút gọn \(DM = \dfrac{{n - m}}{{2\left( {n + m} \right)}}BC.\)

Gọi \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\).

\({S_{ADM}} = \dfrac{1}{2}DM.AH \)\(\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{n - m}}{{2\left( {n + m} \right)}}.BC.AH\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BC.AH\)

\(\dfrac{{{S_{ADM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{n - m}}{{2\left( {n + m} \right)}}\)\(\, \Rightarrow {S_{ADM}} = \dfrac{{n - m}}{{2\left( {n + m} \right)}}{S}\)

b) \(\dfrac{{n - m}}{{2\left( {n + m} \right)}} = \dfrac{{\left( {n - m} \right).100}}{{2.\left( {n + m} \right).100}}\)\(\, = \dfrac{{\left( {7 - 3} \right).100}}{{2.\left( {7 + 3} \right).100}} \)\(\,= \dfrac{{20}}{{100}} = 20\% \)

Vậy \({S_{ADM}} = 20\% S.\)