Bài 13 trang 77 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)).

Đường thẳng \(a\) song song với \(DC\), cắt các cạnh \(AD\) và \(BC\) theo thứ tự là \(E\) và \(F.\)

Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}\);

b) \(\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{BF}{BC}\)

c) \(\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{CF}{CB}\).

Lời giải chi tiết

Vẽ thêm đường chéo \(AC\), \(AC\) cắt \(EF\) tại \(K\) (h.20)

+ Xét \(∆ACD\) có \(EK // DC\) (giả thiết)

Ta có: \( \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AK}{KC}\)       (1)

+ Xét \(∆CAB\) có \(FK // AB\) (giả thiết)

Ta có: \(\dfrac{AK}{KC} = \dfrac{BF}{FC}\)         (2)

Từ các tỉ lệ thức (1) và (2), ta suy ra: \( \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}\).

Tương tự như trên, xét \(\Delta ACD\) có \(EK//CD\) và \(\Delta CAB\) có \(KF//AB.\) Ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AK}}{{AC}};\,\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}.\) Suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\).

\(\dfrac{{DE}}{{DA}} = \dfrac{{CK}}{{CA}};\,\dfrac{{CK}}{{CA}} = \dfrac{{CF}}{{CB}}.\) Suy ra \(\dfrac{{DE}}{{DA}} = \dfrac{{CF}}{{CB}}.\)