Bài 11 trang 75 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \(AB= m, AC= n\) và \(AD\) là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác \(ABD\) và diện tích tam giác \(ACD\) bằng \(\dfrac{m}{n}\).

Lời giải chi tiết

Gọi diện tích của tam giác \(ABD\) và \(ACD\) (h.18) lần lượt là \({S_{ABD}}; {S_{ACD}} \).

Gọi đường cao của tam giác là \(AH\).

\({S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH\)

\({S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}DC.AH\)

\( \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD.AH}{\dfrac{1}{2}DC.AH} = \dfrac{BD}{DC}\)

Vì \(AD\) là đường phân giác của góc \(A\), nên ta có:

\( \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vậy \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{m}{n}\) (đpcm).