Bài 1.46 trang 38 SBT hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x - y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là ảnh của \(d\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và phép quay tâm \(O\) góc quay \( - 90^\circ \).

Lời giải chi tiết

Gọi M(x;y) bất kì thuộc d.

Giả sử \({M_1}(x_1;y_1) = {D_I}\left( M \right)\) và \(M'(x';y') = {Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( {{M_1}} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =2x_I-x=  - 2 - x\\{y_1} = 2y_I-y=4 - y\end{array} \right.\)

và \(\left\{ \begin{array}{l}x' = {y_1}\\y' =  - {x_1}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - y\\y' = 2 + x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=4 - x'\\x =  - 2 + y'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( { - 2 + y';4 - x'} \right)\)

Thế \(\left( {x;y} \right)\) theo \(\left( {x';y'} \right)\) vào phương trình \(d\) ta có: \(3\left( {y' - 2} \right) - \left( {4 - x'} \right) - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x' + 3y' - 13 = 0\).

Vậy phương trình \(d'\) là \(x + 3y - 13 = 0\).