Bài 1.45 trang 38 SBT hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai đường thẳng \(d:x - 5y + 7 = 0\) và \(d':5x - y - 13 = 0\). Tìm phép đối xứng qua trục biến \(d\) thành \(d'\).

Lời giải chi tiết

Nhận xét \(d\)và \(d'\) không song song nên phép đối xứng trục biến \(d\) thành \(d'\) có trục là phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(d'\).

Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường phân giác của d và d'.

Khi đó d(M,d)=d(M,d') nên:

\(\dfrac{{\left| {x - 5y + 7} \right|}}{{\sqrt {1^2+(-5)^2} }} = \dfrac{{\left| {5{\rm{x}} - y - 13} \right|}}{{\sqrt {5^2+(-1)^2} }}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\left| {x - 5y + 7} \right|}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{\left| {5x - y - 13} \right|}}{{\sqrt {26} }}\\
\Leftrightarrow \left| {x - 5y + 7} \right| = \left| {5x - y - 13} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5y + 7 = 5x - y - 13\\
x - 5y + 7 = - \left( {5x - y - 13} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 4x - 4y + 20 = 0\\
6x - 6y - 6 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 5 = 0\\x - y - 1 = 0\end{array} \right.\)

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là x + y - 5 = 0 và x - y - 1 = 0.