Bài 1.4 trang 8 SBT Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

LG câu a

a) \(y = x - \sin x,   x ∈ [0; 2π]\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) và xét dấu \(y'\).

- Kết luận.

Giải chi tiết:

\(y = x - \sin x, x ∈ [0; 2π]\).

\(y' = 1 - \cos x≥ 0 \) với mọi \(x ∈ [0; 2π]\)

Dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x = 0 \) và \(x = 2π\).

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn \([0; 2π]\).

LG câu b

b) \(y = \sin {1 \over x}\) , \((x > 0)\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) và xét dấu \(y'\).

- Kết luận.

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\)  với \(x > 0\).

\(y' =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\)

Với \(x>0\) ta có:

\({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\)  ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0

⟺ \({\pi  \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi  \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\)  , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

\(....,({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }}),.....,\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\)

và nghịch biến trên các khoảng

……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}),.....,({2 \over \pi }; + \infty )\)

với k = 0, 1, 2 …