Bài 1.13 trang 5 SBT Vật Lí 12

Đề bài

Một vật dao động điều hoà dọc theo trục \({\rm{Ox}}\), quanh điểm gốc \(O\), với biên độ \(A = 24cm\) và chu kì \(T = 4s\). Tại thời điểm \(t = 0\), vật có li độ là \( - A\).

a) Viết phương trình dao động của vật.

b) Tính li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,5s\).

c) Xác định thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ \(x =  - 12cm\) và tốc độ tại thời điểm đó.

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình dao động của vật

+ Tần số góc: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{2}(rad/s)\)

+ Biên độ: \(A = 24cm\)

+ Tìm \(\varphi \): \(t = 0:{x_0} = A\cos \varphi  =  - A \Leftrightarrow \cos \varphi  =  - 1 \Leftrightarrow \varphi  = \pi (rad)\)

Vậy phương trình dao động: \(x = 24\cos (\dfrac{\pi }{2}t + \pi )(cm)\)

b)Phương trình vận tốc: \(v =  - {\rm{A}}\omega {\rm{sin(}}\omega {\rm{t + }}\varphi ) =  - 24.\dfrac{\pi }{2}.\sin (\dfrac{\pi }{2}t + \pi )(cm/s)\)

Phương trình gia tốc: \(a =  - A{\omega ^2}\cos (\omega t + \varphi ) =  - 12.{(\dfrac{\pi }{2})^2}\cos (\dfrac{\pi }{2}t + \pi )(cm/{s^2})\)

Tại thời điểm \(t = 0,5s\):

Li độ: \(x = 24\cos (\dfrac{\pi }{2}t + \pi ) = 24\cos (\dfrac{\pi }{2}.0,5 + \pi ) =  - 12\sqrt 2 (cm)\)

Vận tốc: \(v =  - 24.\dfrac{\pi }{2}.\sin (\dfrac{\pi }{2}t + \pi ) =  - 24.\dfrac{\pi }{2}.\sin (\dfrac{\pi }{2}.0,5 + \pi ) = 26,7(cm/s)\)

Gia tốc: \(a =  - 12.{(\dfrac{\pi }{2})^2}\cos (\dfrac{\pi }{2}t + \pi ) =  - 12.{(\dfrac{\pi }{2})^2}\cos (\dfrac{\pi }{2}.0,5 + \pi ) = 41,9(cm/{s^2})\)

c) Thời điểm đầu tiên vật đi qua li độ \(x =  - 12cm\) là

Vị trí xuất phát: \(x =  - A\)

Vị trí đích: \(x =  - 12cm =  - \dfrac{A}{2}cm\)

Vẽ vòng tròn lượng giác:

Từ hình vẽ: \(\cos (\omega t) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \omega t = \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2}t = \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}s\)

Tốc độ tại thời điểm đó: \(v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}}  = \dfrac{\pi }{2}\sqrt {{{24}^2} - {{( - 12)}^2}}  = 32,6(cm/s)\)