Bài 1.13 trang 14 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 1.13 trang 14 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số...
Đề bài
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là
A. \(\dfrac{1}{4}\) và \(1\) B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi \({\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa \(\sin f(x)\) hoặc \(\cos f(x)\).
Ta có \(\left| {\sin f(x)} \right| \le 1\) và \(\left| {\cos f(x)} \right| \le 1\) từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải chi tiết
\({\cos ^6}x + {\sin ^6}x=\)
\(({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)
\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)
\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)
\(\begin{array}{l}
= 1 - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\\
= 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x
\end{array}\)
\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)
Mà \(0 \le {\cos ^2}2x \le 1 \)
\(\Rightarrow 0 \le \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le \dfrac{3}{4}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(\cos 2x = 0\),
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y\) là \(1\) đạt được khi \(\cos 2x = 1\).
Đáp án A.
Cách trắc nghiệm:
Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 1.13 trang 14 SBT đại số và giải tích 11 timdapan.com"
