Đề số 8 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)

Câu 1:Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức \({\rm{w}} = z + i.\overline z \)

A. M(5;-5).                      B. M(1;-5).

C. M(1;1).                       D. M(5;1).

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x là:

A.\( - \dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\)        B.\(\dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\)

C.\(3\sin 3x + C.\)           D.\( - 3\sin 3x + C.\)

Câu 3: Biết \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}} dx = \dfrac{{{e^a} - 1}}{b}.\) Tìm khẳng địng đúng trong các khẳng định sau?

A. a + b = 10.                  B. a = b.

C. a = 2b.                        D. a < b.

Câu 4: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?

A.\(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}  = {\mathop{\rm t}\nolimits}  + C.\)

B.\(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1).\)

C.\(\int {{x^\alpha }}  = \dfrac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1).\)

D.\(\int {\dfrac{1}{x}}  = \ln x + C.\)

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\) và mặt phẳng (P); x – 3y + 2z – 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. d cắt và không vuông góc với (P).

B.d vuông góc với (P).

C. d song song với (P).  

D. d nằm trong (P).

Câu 6: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;4;7) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y - 2z – 3 = 0 là:

A.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 4 + 4t\\z = 7 - 4t\end{array} \right.\)

B.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right.\)

C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 4 + 3t\\z = 7 + t\end{array} \right.\)

D.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z =  - 2 + 7t\end{array} \right.\)

Câu 7: Cho A(1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng \(3\sqrt 3 \) là:

A. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 3 = 0.

B. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z + 15 = 0.

C. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 15 = 0.

D. x + y + z + 3 = 0 và x + y – z – 15 = 0.

Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

 

A. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4i.

C. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4.

D. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3i.

Câu 9: Biết \(\int\limits_a^b {f(x)dx = 10} ,F(x)\) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = - 3. Tính F(b).

A. F(b) = 13.                   B. F(b) = 10.

C. F(b) = 16.                   D. F(b) = 7.

Câu 10: Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i+1).

A.\(\overline z  = 3 - i.\)  B.\(\overline z  =  - 3 - i.\)

C.\(\overline z  =  - 3 + i.\)     D.\(\overline z  = 3 + i.\)

Câu 11: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{4}{{1 + 2x}}\) và F(0) = 2. Tìm F(2).

A. 4ln5 + 2.                     B. 5 (1 + ln2).

C. 2 ln5 + 4.                    D. 2 (1+ln5).

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^2},\) trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:

A. \(\dfrac{1}{3}.\)          B.\(\dfrac{{28}}{3}.\)

C.\(\dfrac{8}{3}.\)           D.\(\dfrac{{28}}{9}.\)

Câu 13: Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình: \({z^2} - 2z + 5 = 0.\) Tính \(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)

A.\(2\sqrt 5 .\)                 B. 10.

C. 3.                         D. 6.

Câu 14: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn: z(2 – i) + 13i = 1.

A.\(\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {34} }}{3}.\)     B.\(\left| z \right| = \dfrac{{5\sqrt {34} }}{2}.\)

C.\(\left| z \right| = 34.\)  D.\(\left| z \right| = \sqrt {34} .\)

Câu 15: Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2dx}}{{3 - 2x}}}  = \ln a.\) Giá trị của a bằng:

A. 3.                                B. 2.

C. 4.                                D.1.

Câu 16: Biết \(\int\limits_0^3 {f(x)dx = 12} .\) Tính \(I = \int\limits_0^1 {f(x)dx} .\)

A. 4.                                B. 6.

C. 36.                              D. 3.

Câu 17: F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{3x + 4}}{{{x^2}}},(x \ne 0),\) biết rằng F(1) =  1. F(x) là biểu thức nào sau đây:

A.\(F(x) = 2x + \dfrac{4}{x} - 5.\)

B.\(F(x) = 3\ln \left| x \right| + \dfrac{4}{x} + 5.\)

C.\(F(x) = 3x - \dfrac{4}{x} + 3.\)

D.\(F(x) = 3\ln \left| x \right| - \dfrac{4}{x} + 3.\)

Câu 18: Trong hệ tọa Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;-1), B(4;-1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. \(2x + 2y + 3z + 1 = 0. \)

B. \(4x – 4y – 6z + \dfrac{{15}}{2}= 0.\)

B. \(4x + 4y + 6z – 7 = 0. \)

D. \(x + y – z = 0.\)

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 3 + 5t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R}).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

A.\(\overrightarrow u  = (2;0; - 3).\)                  

B.\(\overrightarrow u  = (2; - 3;5).\)

C.\(\overrightarrow u  = (2;3; - 5).\)                  

D.\(\overrightarrow u  = (2;0;5).\)

Câu 20: Cho đồ thị hàm số y = f(x), diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

 

A.\(S = \int\limits_{ - 3}^4 {f(x)dx.} \)

B.\(S = \int\limits_0^{ - 3} {f(x)dx + \int\limits_0^4 {f(x)dx} .} \)

C.\(S = \int\limits_{ - 3}^1 {f(x)dx + \int\limits_1^4 {f(x)dx} .} \)     

D.\(S = \int\limits_{ - 3}^0 {f(x)dx - \int\limits_0^4 {f(x)dx} .} \)

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;2). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)?

A.\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)

B.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{3} = 1.\)

C.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)

D.\(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1.\)

Câu 22: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?

A.\(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{1}.\)

B.\(\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}.\)         

C.\(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}.\)

D.\(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{4}.\)

Câu 23: Tìm số phức z biết \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{{i^{2019}}}}.\)

A. z = 4 – 3i.                   B. z = 4 + 3i.

C. z = 3 – 4i.                   D. z = 3 + 4i.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A.\(\overrightarrow n  = (1; - 2;0).\)                  

B. \(\overrightarrow n  = (1;0; - 2).\)

C. \(\overrightarrow n  = (3; - 2;1).\)                 

D. \(\overrightarrow n  = (1; - 2;3).\)

PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)

Câu 1: (1.0 điểm). Tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\)

\(b)I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(3 - 2x)cos2xdx} .\)

Câu 2: (1.0 điểm).

a) Giải phương trình (1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.

b) Tìm số phức z thỏa mãn: \((3 + i)\overline z  + (1 + 2i)z = 3 - 4i.\)

Câu 3: (2.0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 4 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

1C	2B	3C	4D	5A
6A	7C	8C	9D	10B
11D	12B	13A	14D	15A
16A	17B	18C	19B	20D
21D	22C	23A	24B

PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)

Câu 1: (1.0 điểm) 

Tính các tích phân sau:a) \(I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\)\(b)I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(3 - 2x)cos2xdx} .\)

a) Đặt: \(t = \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} \Rightarrow {t^3} = 1 + {x^2}\)

\(\Rightarrow 3{t^2}dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{3}{2}{t^2}dt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \sqrt 7  \Rightarrow t = 2 \)

\(\Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\dfrac{3}{2}} {t^3}dt\)\(\, = \left. {\dfrac{3}{8}} \right|_1^2 = \dfrac{3}{8}(16 - 1) = \dfrac{{45}}{8}.\)

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3 - 2x \Rightarrow du =  - 2dx\\dv = \cos 2x \Rightarrow v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} I = (3 - 2x)\left. {\dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \\\;\;\;\;\;\; = \left( {\dfrac{{6 - \pi }}{4}} \right) - \dfrac{1}{2}(0 - 1)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{8 - \pi }}{4} = 2 - \dfrac{\pi }{4}.\end{array}\)

Câu 2: (1.0 điểm)

a) Giải phương trình \((1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}(1 + i)z + (4 - 7i) = 8 - 4i\\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 4 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 3i}}{{1 + i}} = \dfrac{{(4 + 3i)(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} \\= \dfrac{{4 - 4i + 3i - 3{i^2}}}{2} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2}i\end{array}\)

b) Tìm số phức z thỏa mãn: \((3 + i)\overline z  + (1 + 2i)z = 3 - 4i.\)

Gọi \(z = a + bi\) \((a,b \in \mathbb{R},{i^2} =  - 1) \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

\(\begin{array}{l}(3 + i)\overline z  + (1 + 2i)z = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow (3 + i)(a - bi) + (1 + 2i)(a + bi) \\= 3 - 4i\\ \Leftrightarrow 4a - b + (3a - 2b)i = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - b = 3\\3a - 2b =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z = 2 + 5i.\)

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): \(2x – y + 2z + 4 = 0.\)

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;1), vuông góc với (P) có VTCP: \(\overrightarrow u  = (2; - 1;2)\)

Có PTTS: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\)

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

Tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2z + 4 = 0\\x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 0\\y = 2\\z =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(H(0;2;-1)\)

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Ta có: \(d(M;(P)) = \dfrac{{\left| {4 - 1 + 2 + 4} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\)

Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R = d(M;(P))=2 có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 9\)