Đề số 2 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1; - 2} \right)\) và \(B\left( {3;0;1} \right)\). Vecto \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là

A. \(\left( {4;1; - 1} \right)\)

 B. \(\left( {2;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

C. \(\left( {2; - 1;3} \right)\)

D. \(\left( { - 2;1; - 3} \right)\)

Câu 2: Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 là

A. \(3 + 2i\)

B. \(2 + 3i\)

C. \(2 - 3i\)

D. \(3 - 2i\)

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x - {e^x}\) là

A. \({x^2} - {e^{x + 1}} + C\)

B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\)

C. \(1 - {e^x} + C\)

D. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - {e^x} + C\)

Câu 4: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z - 2 = 0\) có bán kính bằng

A. \(\sqrt {11} \)

B. \(3\sqrt 6 \)

C. \(2\sqrt 3 \)

D. \(\sqrt {15} \)

Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)   

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\) 

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)

Câu 6: Hàm số \(F\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) là nguyên hàm của hàm số nào?

A. \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \cos x\)

B. \(y = 2x + \cos x\)

C. \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \cos x\)

D. \(y = 2x - \cos x\)

Câu 7: Trong không gian Oxyz, vecto \(\overrightarrow x  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k \) có tọa độ là

A. \(\left( {1;3;2} \right)\)

B. \(\left( {1; - 3;2} \right)\)

C. \(\left( {1;2;3} \right)\)

D. \(\left( {0; - 3;2} \right)\)

Câu 8: Môđun của số phức \(\left( {3 - 2i} \right)i\) bằng

A. \(\sqrt 5 \)

B. \(\sqrt {13} \)

C. 1

D. 5

Câu 9: Điểm nào trong hình bên biểu diễn cho số phức \({\rm{w}} = 4 - i\)?

A. Điểm M.

B. Điểm N.

C. Điểm P.

D. Điểm Q.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\). Vecto nào sau đây không phải là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)?

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\)

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 2;1; - 2} \right)\)

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {4; - 2;4} \right)\)

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\)

Câu 11: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right],\) \(f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( 2 \right) = 0\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} \) có giá trị bằng

A. 3

B. \( - 3\)

C. 2

D. \(\dfrac{3}{2}\)

Câu 12: Trong không gian Oxyz, điểm B đối xứng với điểm \(A\left( {2;1; - 3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( { - 2;1; - 3} \right)\)

B. \(\left( {2; - 1; - 3} \right)\)

C. \(\left( {2;1; - 3} \right)\)

D. \(\left( { - 2;1;3} \right)\)

Câu 13: Biết \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx =  - 8} \). Tích phân \(\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \) có giá trị bằng

A. 12

B. \( - 1\)

C. \( - 5\)

D. 5

Câu 14: Cho hàm số \(y = {2^x}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Diện tích S của hình phẳng tô đậm trong hình bằng

A. \(S = \int\limits_1^2 {{2^x}dx} \)

B. \(S = \int\limits_0^2 {{2^{2x}}dx} \)

C. \(S = \pi \int\limits_0^2 {{2^x}dx} \)

D. \(S = \int\limits_0^2 {{2^x}dx} \)

Câu 15: Ký hiệu \(z,\,\,{\rm{w}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{x^2} - 4x + 9 = 0\). Giá trị của \(P = \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{\rm{w}}}\) là

A. \( - \dfrac{4}{9}\)

B. \( - \dfrac{9}{4}\)

C. \(\dfrac{4}{9}\)

D. \(\dfrac{9}{4}\)

Câu 16: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {2; - 3;0} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 5y - 2z + 1 = 0\) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt {30} }}{5}\)

B. 12

C. \(\dfrac{{13}}{{\sqrt {30} }}\)

D. \(\sqrt {30} \)

Câu 17: Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nào dưới đây thỏa đẳng thức \(\left( {3x + 2yi} \right) + \left( {2 + i} \right) = 2x - 3i\)?

A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\)

B. \(\left( { - 2; - 2} \right)\)

C. \(\left( {2; - 2} \right)\)

D. \(\left( {2; - 1} \right)\)

Câu 18: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;1; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 5 = 0\)

A. \(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\)

B. \(\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\)

C. \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\)

D. \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\)

Câu 19: Cho ba số phức \({z_1} = 4 - 3i,\) \({z_2} = \left( {1 + 2i} \right)i\) và \({z_3} = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng \(Oxy\)lần lượt là A, B, C. Số phức  nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm D  thỏa ABCD là hình bình hành?

A. \(6 - 5i\)

B. \(2 - 5i\)

C. \(4 - 2i\)

D. \( - 6 - 4i\)

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật \(OABC.O'A'B'C'\) có ba đỉnh \(A,\,\,C,\,\,O'\) lần lượt nằm trên ba tia \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) và có ba cạnh \(OA = 6,\) \(OC = 8,\) \(OO' = 5\)( tham khảo hình vẽ minh họa). Điểm B’ có tọa độ là

A. \(\left( {8;6;5} \right)\)

B. \(\left( {5;6;8} \right)\)

C. \(\left( {6;5;8} \right)\)

D. \(\left( {6;8;5} \right)\)

Câu 21: Cho số phức \(z = a + bi\) với a, b là các số thực. Khẳng định nào đúng?

A. \(z + \overline z  = 2bi\)

B. \(z - \overline z  = 2a\)

C. \(z.\overline z  = {a^2} - {b^2}\)

D. \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\)

Câu 22: Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) là

A. \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\)

B. \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{2}\) 

C. \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)

D. \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

Câu 23: Gọi \(z,{\rm{w}}\) là các số phức có điểm biểu diễn lần lượt là \(M,\,\,N\) trên mặt phẳng Oxy như hình minh họa bên. Phần ảo của số phức \(\dfrac{z}{{\rm{w}}}\) là

A. \(\dfrac{{14}}{{17}}\)

B. 3

C. \( - \dfrac{5}{{17}}\)

D. \( - \dfrac{1}{2}\)

Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left( {1;17} \right)\) sao cho \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}}  > \ln \left( {\dfrac{a}{2}} \right)\)?

A. 4.

B. 9.

C. 15.

D. 0.

Câu 25: Trong không gian Oxyz, biết đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = a - 2t\\z = bt\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trong mặt phẳng  \(\left( P \right):\,\,x + y - z - 2 = 0\). Tổng \(a + b\) có giá trị bằng:

A. \( - 3\)

B. \( - 1\)

C. 1

D. 0

Câu 26: Bằng cách biến đổi biến số \(t = 1 + \ln x\) thì tích phân \(\int\limits_1^e {\dfrac{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}{x}dx} \) trở thành

A. \(\int\limits_1^e {{t^2}dt} \)

B. \(\int\limits_1^2 {{t^2}dt} \)

C. \(\int\limits_1^4 {{t^2}dt} \)

D. \(\int\limits_1^2 {{{\left( {1 + t} \right)}^2}dt} \)

Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \(y = {x^2} + 3x - 1\) và \(y =  - {x^2} + x + 3\) được tô đậm trong hình bên có giá trị bằng

A. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x + 2} \right)dx} \)

B. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} \)

C. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4 - 2x - 2{x^2}} \right)dx} \)

D. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 4x - 2} \right)dx} \)

Câu 28: Biết phương trình \({z^2} + 2z + m = 0\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm là \({z_1} =  - 1 + 3i\). Gọi \({z_2}\) là nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức \({\rm{w}} = {z_1} - 2{z_2}\) bằng

A. 1

B. \( - 3\)

C. 9

D. \( - 9\)

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;2; - 1} \right),\) \(B\left( { - 4;2; - 9} \right)\). Phương trình mặt cầu có đường kính AB là:

A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 5\)

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 25\)

C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 25\)D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 5\)

Câu 30: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn \({z^2} + 2\left( {\overline z } \right) = 0\)?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 5}}{6} = \dfrac{{z - 7}}{8}\). Khẳng định nào đúng?

A. \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\)

B. \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\)

C. \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\)

D. \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\)chéo nhau.

Câu 32: Trong không gian Oxyz cho điểm \(P\left( {2; - 3;1} \right)\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên ba trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\). Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là:

A. \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1\)

B. \(2x - 3y + z = 1\)

C. \(3x - 2y + 6z = 1\)

D. \(3x - 2y + 6z - 6 = 0\)

Câu 33: Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x }} = \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt a  - b} \right)} \) với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \(T = a + b\) là:

A. 10

B. 7

C. 6

D. 8

Câu 34: Trong không gian Oxyz cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có phương trình các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right);\) \(\left( {A'B'C'} \right)\) lần lượt là \(x - 2y + z + 2 = 0\) và \(x - 2y + z + 4 = 0\). Biết tam giác \(ABC\) có diện tích bằng 6. Thể tích khối lăng trụ đó bằng

A. \(6\sqrt 6 \)

B. \(2\sqrt 6 \)

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Câu 35: Nếu \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 3\) thì \(\int\limits_1^5 {f\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{3}{2}\)

B. 3

C. \(\dfrac{5}{2}\)

D. 6

Câu 36: Cho số phức \(z = m + 1 + mi\) với \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) sao cho \(\left| {z - 2i} \right| > 1?\)

A. 0

B. 4

C. 5

D. 9

Câu 37: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và qua điểm \(A\left( {1;4; - 3} \right)\) là

A. \(3x + z = 0\)

B. \(3x + y = 0\)

C. \(x + 3z = 0\)

D. \(3x - z = 0\)

Câu 38: Một ô tô đang chạy với vận tốc \(15\left( {m/s} \right)\) thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc  \(a = 3t - 8\,\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi sau 10 giây tăng vận tốc ô tô đi được bao nhiêu mét?

A. 150

B. 180

C. 246

D. 250

Câu 39: Trong không gian Oxyz, biết đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y + 2z + 3 = 0\) tại điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị \(P = a + b + c\) bằng:

A. 5

B. \( - 2\)

C. \( - 5\)

D. 0

Câu 40: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Biết \(f\left( 2 \right) = a\) và \(\int_1^2 {\left( {x - 1} \right)f'\left( x \right)dx = b} \). Tích phân \(\int_1^2 {f\left( x \right)dx} \) có giá trị bằng

A. \(a - b\)

B. \(b - a\)

C. \(a + b\)

D. \( - a - b\)

Câu 41: Có bao nhiêu số phức \(z = a + bi\) với \(a,\,\,b\) tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {2;9} \right]\) và tổng \(a + b\) chia hết cho 3?

A. 42.

B. 27.

C. 21.

D. 18.

Câu 42: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(x + \sqrt 2 y - z + 3 = 0\) cắt mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) theo giao tuyến là một đường tròn. Chu vi đường tròn đó bằng

A. \(\pi \sqrt {11} \)

B. \(3\pi \)

C. \(\pi \sqrt {15} \)

D. \(\pi \sqrt 7 \)

Câu 43: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{2}{3}\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{{16}}{3}\)

D. \(\dfrac{3}{{16}}\)

Câu 44: Cho số phức \(z = x + yi\) \(\left( {x \ge 0,\,\,y \ge 0} \right)\) thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right| \le \left| {z - 3 - 5i} \right|\). Giá trị lớn nhât của \(T = 35x + 63y\) bằng:

A. 70

B. 126

C. 172

D. 280

Câu 45: Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng \(80\left( {cm} \right)\). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính \(60\left( {cm} \right)\) (tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 771

B. 385

C. 603

D. 905

Câu 46: Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \dfrac{5}{2}\) \(\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\) và \(g\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3;\,\, - 1;\,\,1\) ( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) bằng

A. \(\dfrac{9}{2}\)

B. \(\dfrac{{18}}{5}\)

C. 4

D. 5

Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\), \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và đường thẳng d có phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua M và vuông góc với d sao cho khoảng cách từ điểm A đến d’ nhỏ nhất là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 2\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {2;1;4} \right)\), \(N\left( {5;0;0} \right)\) và \(P\left( {1; - 3;1} \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt cầu qua ba điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) và tiếp xúc với mặt phẳng Oyz?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 49: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A ,B là điểm biểu diễn cho các số phức z và \({\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z\). Biết tam giác OAB có diện tích bằng 8. Mô đun của số phức \({\rm{w}} - z\) bằng

A. 2

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(4\sqrt 2 \)

D. 4

Câu 50: Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh M và cạnh đáy AB như minh họa ở hình bên. Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là 200.000 đồng \(/{m^2}\) và phần kính trắng còn lại là 150.000 đồng \(/{m^2}\). Cho \(MN = AB = 4m\) và \(MC = CD = DN\). Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 1.954.000 đồng

B. 2.123.000 đồng.

C. 1.946.000 đồng

D. 2.145.000 đồng

Lời giải chi tiết

1. C	2. A	3. D	4. D	5. D
6. B	7. B	8. B	9. D	10. D
11. B	12. A	13. B	14. B	15. C
16. A	17. B	18. D	19. A	20. D
21. D	22. C	23. A	24. A	25. D
26. B	27. C	28. C	29. B	30. C
31. B	32. D	33. A	34. B	35. D
36. D	37. D	38. D	39. C	40. A
41. D	42. A	43. B	44. D	45. A
46. D	47. D	48. A	49. D	50. C

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính vecto khi biết hai điểm: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(A\left( {1;1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;0;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Chọn C.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức của số phức \(z = a + bi\) với a là phần thực; b là phần ảo.

Cách giải:

Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là 3 và phần ảo bằng 2 \( \Rightarrow z = 3 + 2i\)

Chọn A.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} .\)

Cách giải:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x - {e^x}} \right)dx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} - {e^x} + C.\)

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z - 2 = 0\) có tâm là \(I\left( {2;0; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + 2}  = \sqrt {15} .\)

Chọn D.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\).

Cách giải:

Đường thẳng đi qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

Chọn C.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) + C = f\left( x \right)\) (C = hằng số).

Cách giải:

Ta có \(F\left( x \right) = {x^2} + \sin x\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = 2x + \cos x\)

Nên \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x + \cos x.\)

Chọn B.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Vecto \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow x  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow x  = \left( {1; - 3;2} \right)\)

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

- Nhân hai số phức để tìm số phức đã cho.

- Áp dụng công thức tính mô đun của số phức: Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có \(z = \left( {3 - 2i} \right)i = 2 + 3i\).

\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)

Chọn B.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Điểm biểu diễn của số phức \(z = a + bi\) là \(A\left( {a;b} \right)\).

Cách giải:

Ta có \({\rm{w}} = 4 - i\) có điểm biểu diễn là \(Q\left( {4; - 1} \right)\)

Chọn D.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\)\(:2x - y + 2z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;2} \right)\)

Mặt khác ta thấy \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\) do đó \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\) không là vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Chọn D.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tích phân Newton – Leibniz: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Cách giải:

\(\int_0^2 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) = 0 - 3 =  - 3.\)

Chọn B.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, điếm đối xứng với điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là \(\left( { - x;y;z} \right)\).

Cách giải:

Điểm đối xứng của \(A\left( {2;1; - 3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(A'\left( { - 2;1; - 3} \right)\)

Chọn A.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx}  =  - 8\\ \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - 2\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  =  - 8\\ \Leftrightarrow 2 - 2\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  =  - 8\\ \Leftrightarrow \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = 5.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Hình phẳng tô đậm là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {2^x}\), trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 2\) có diện tích là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {{2^x}dx} \,\,\left( {Do\,\,{2^x} > 0\,\,\forall x} \right).\)

Chọn B.

Câu 15 (TH)

Phương pháp:

Tìm hai nghiệm phức của phương trình từ đó suy ra giá trị của P.

Cách giải:

Ta có: \(2{x^2} - 4x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i = z\\x = 1 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i = w\end{array} \right.\) .

Khi đó \(P = \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{\rm{w}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i}} + \dfrac{1}{{1 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i}} = \dfrac{4}{9}.\)

Chọn C.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

 \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 5\left( { - 3} \right) - 2.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt {30} }}{5}.\)

Chọn A.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của hai số phức bằng nhau: \({z_1} = {a_1} + {b_1}\), \({z_2} = {a_2} + {b_2}\) \( \Rightarrow {z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {3x + 2yi} \right) + \left( {2 + i} \right) = 2x - 3i\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right) + \left( {2y + 1} \right)i = 2x - 3i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 2x\\2y + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 2} \right)\).

Chọn B.

Câu 18 (TH)

Phương pháp:

- \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \) với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng d, \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng (P).

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 5 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng d. Vì \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {3;1; - 1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\) là: \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}.\)

Chọn D.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\): Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z = a + bi\).

- Áp dụng tính chất hình bình hành để xác định điểm D: ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

Cách giải:

Ta có

\({z_1} = 4 - 3i \Rightarrow A\left( {4; - 3} \right)\)

\({z_2} = \left( {1 + 2i} \right)i =  - 2 + i \Rightarrow B\left( { - 2;1} \right)\)

\({z_3} = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} =  - i \Rightarrow C\left( {0; - 1} \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 4 = 0 - {x_D}\\1 - \left( { - 3} \right) =  - 1 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy số phức có điểm biểu diễn là điểm \(D\left( {6; - 5} \right)\) có dạng \(z = 6 - 5i.\)

Chọn A.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của hình hộp chữ nhật.

Cách giải:

Gọi \(B'\left( {a;b;c} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = B'C' = OA = 6\\b = B'A' = OC = 8\\c = B'B = OO' = 5\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {6;8;5} \right)\)

Chọn D.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\). Thay vào từng đáp án.

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Xét đáp án A: \(z + \overline z  = 2a\) \( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

Xét đáp án B: \(z - \overline z  = 2bi\)\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

Xét đáp án C: \(z.\overline z  = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

Xét đáp án D: \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Chọn D.

Câu 22 (NB)

Phương pháp:

Từ phương trình tham số, rút ẩn t để suy ra phương trình chính tắc.

Cách giải:

Ta có \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}}\\t = \dfrac{y}{3}\\t = \dfrac{{z - 2}}{1}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)  là phương trình tham số của đường thẳng d.

Chọn C.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

- Từ đồ thị suy ra tọa độ của M, N.

- Tìm hai số phức z, w: Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z = a + bi\).

- Tính \(\dfrac{z}{{\rm{w}}}\), sử dụng MTCT.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta có \(M\left( {3;2} \right),\) \(N\left( {1; - 4} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 3 + 2i\\{\rm{w}} = 1 - 4i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{z}{{\rm{w}}} = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - 4i}} =  - \dfrac{5}{{17}} + \dfrac{{14}}{{17}}i\end{array}\)

Khi đó phần ảo của số phức \(\dfrac{z}{{\rm{w}}}\) là \(\dfrac{{14}}{{17}}\).

Chọn A.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.\)

- Giải bất phương trình logarit: \(\ln x > \ln y \Leftrightarrow x > y > 0\).

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}}  = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \dfrac{1}{2}\ln 9 \)\(= \dfrac{1}{2}.ln{3^2} = \ln 3.\)

Theo bài ra ta có: \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}}  > \ln \left( {\dfrac{a}{2}} \right) \)

\(\Rightarrow \ln 3 > \ln \left( {\dfrac{a}{2}} \right) \)\(\Leftrightarrow 3 > \dfrac{a}{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < a < 6.\)

Mặt khác a là số nguyên thuộc khoảng \(\left( {1;17} \right)\) nên \(1 < a < 6,\,\,a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

- \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\).

- Lấy \(A \in d\) bất kì \( \Rightarrow A \in \left( P \right)\).

Cách giải:

Đường thẳng d có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2;b} \right)\), mặt phẳng (P) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {1;1; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = a - 2t\\z = bt\end{array} \right.\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 2 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - 2 - b = 0 \Leftrightarrow b =  - 1\).

Lấy điểm \(A\left( {1;a;0} \right) \in \left( d \right)\), vì \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow A \in \left( P \right)\).

\( \Rightarrow 1 + a - 0 - 2 = 0 \Leftrightarrow a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1.\) 

Vậy \(a + b = 1 + \left( { - 1} \right) = 0.\)

Chọn D.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

- Đặt \(t = 1 + \ln x\), tính vi phân hai vế.

- Đổi cận.

- Thay toàn bộ biến x thành biến t.

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}{x}dx} \)

Đặt \(t = 1 + \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\)

Đổi cân: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = \int\limits_1^2 {{t^2}dt} .\)

Chọn B.

Câu 27 (TH)

Phương pháp:

- Dựa vào đồ thị hàm số xác định các giao điểm \(x = a,\,\,x = b\).

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

- Dựa vào đồ thị hàm số, xác định dấu và phá trị tuyệt đối.

- Tính tích phân.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 3x - 1\) và \(y =  - {x^2} + x + 3\) cắt nhau tại 2 điểm là \(x =  - 2;\,\,x = 1.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \(y = {x^2} + 3x - 1;y =  - {x^2} + x + 3\) là

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - {x^2} + x + 3 - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)} \right]dx} \\S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)dx} \end{array}\)

Chọn C.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- Phương trình bậc hai nếu có 1 nghiệm phức là \(z = a + bi\) thì cũng sẽ nhận \(\overline z  = a - bi\) là nghiệm.

- Thay hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) tính số phức \(w\).

Cách giải:

Phương trình \({z^2} + 2z + m = 0\) có một nghiệm \({z_1} =  - 1 + 3i \Rightarrow \) Nghiệm còn lại là \({z_2} =  - 1 - 3i.\)

Khi đó ta có: \(w = {z_1} - 2{z_2} =  - 1 + 3i - 2\left( { - 1 - 3i} \right) = 1 + 9i\).

Vậy số phức \(w\) có phần ảo bằng 9.

Chọn C.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB: Trung điểm đoạn AB có tọa độ là \(\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

- Tính bán kính mặt cầu \(R = IA\), sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \).

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Ta có \(A\left( {2;2; - 1} \right),B\left( { - 4;2; - 9} \right)\) nên trung điểm của đoạn thẳng AB là \(I\left( { - 1;2; - 5} \right).\)

Mặt cầu đường kính AB có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.\)

Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) có phương trình là

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 25\)

Chọn B.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\), thay vào dữ kiện để tìm a, b.

- Số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{z^2} + 2\overline z  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + 2\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + \left( {2ab - 2b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\2ab - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\2b\left( {a - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\{b^2} + 3 = 0\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + 2a = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(z = 0\) và \(z =  - 2\).

Chọn C.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Xác định vecto chỉ phương của hai đường thẳng: Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\), \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Kiểm tra mối quan hệ của 2 VTCP:

   + Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương thì \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\) hoặc \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\).

   + Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\) thì \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\).

Cách giải:

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;3;4} \right)\).

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 5}}{6} = \dfrac{{z - 7}}{8}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {4;6;8} \right)\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \), do đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lấy \(A\left( {1;2;3} \right) \in \left( {{d_1}} \right)\), thay vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta có: \(\dfrac{{1 - 3}}{4} = \dfrac{{2 - 5}}{6} = \dfrac{{3 - 7}}{8} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow A \in {d_2}\).

Vậy \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\).

Chọn B.

Chú ý: Nhiều HS khi nhận thấy \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương vội vàng kết luận luôn \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\).

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm A, B, C: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt có tọa độ là \(\left( {x;0;0} \right)\), \(\left( {0;y;0} \right)\), \(\left( {0;0;z} \right)\).

- Viết phương trình mặt chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(\left( {a;0;0} \right)\), \(\left( {0;b;0} \right)\), \(\left( {0;0;c} \right)\) là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Cách giải:

Ta có A, B, C là hình chiếu vuông góc của điểm \(P\left( {2; - 3;1} \right)\) trên trục Ox, Oy, Oz nên \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 3;0} \right),\) \(C\left( {0;0;1} \right).\)

Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B ,C là: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{{ - 3}} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3x - 2y + 6z - 6 = 0\)

Chọn D.

Câu 33 (VD)

Phương pháp:

- Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\sqrt {ax + b} dx}  = \dfrac{2}{{3a}}{\left( {\sqrt {ax + b} } \right)^3} + C\).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x }}} \\ = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt x }}{{x + 1 - x}}} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt x } \right)dx}\\  = \left. {\dfrac{2}{3}\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^3}} \right]} \right|_0^1\\ = \dfrac{2}{3}\left[ {\left( {\sqrt 8  - 1} \right) - \left( {1 - 0} \right)} \right] \\= \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt 8  - 2} \right)\end{array}\)

Khi đó \(a = 8;\,\,b = 2.\)

Vậy \(T = a + b = 8 + 2 = 10.\)

Chọn A.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Tìm chiều cao của hình trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: \(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + D' = 0\) là: \(d = \dfrac{{\left| {D - D'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Tính thể tích khối lăng trụ: \(V = Bh\) trong đó h là chiều cao, B là diện tích đáy của khối lăng trụ.

Cách giải:

Hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)\) song song với nhau nên chiều cao khối trụ là \(h = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right).\)

Mà phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)\) lần lượt là \(x - 2y + z + 2 = 0;\)\(x - 2y + z + 4 = 0\)

Nên \(h = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {4 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \(V = h.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.6 = 2\sqrt 6 .\)

Chọn B.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Đổi biến \(t = \dfrac{{x + 1}}{2}\).

- Vi phân hai vế.

- Đổi cận, thay toàn bộ biến x thành biến t.

- Sử dụng tính chất không phụ thuộc biến của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_1^5 {f\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)dx} \)

Đặt \(t = \dfrac{{x + 1}}{2} \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{2} \Leftrightarrow dx = 2dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 5 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt}  = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 2.3 = 6.\)

Chọn D.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Tìm mô đun của số phức \(z - 2i\).

- Giải bất phương trình \(\left| {z - 2i} \right| > 1\) bằng phương pháp bình phương 2 vế.

Cách giải:

Ta có \(z = m + 1 + mi \Rightarrow z - 2i = m + 1 + \left( {m - 2} \right)i.\)

\( \Rightarrow \left| {z - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \).

Theo bài ra ta có: \(\left| {z - 2i} \right| > 1 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} > 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 4m + 4 > 1\) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 4 > 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow m \in \mathbb{R}\).

Kết hợp điều kiện bài toán, ta có \(m \in \left( { - 5;5} \right),\,\,m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 37 (VD)

Phương pháp:

- Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n \).

- Phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và qua điểm \(A\left( {1;4; - 3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow j  = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {OA} } \right]\).

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n \)

Phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và qua điểm \(A\left( {1;4; - 3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow j  = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {OA} } \right]\).

Ta có: \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {OA}  = \left( {1;4; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {OA} } \right] = \left( { - 3;0; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng cần tìm có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( { - 3;0; - 1} \right)\), do đó mặt phẳng cũng có vecto pháp tuyến là \(\left( {3;0;1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(3\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - z = 0\).

Chọn D.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

- Tìm hàm số vận tốc: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \), sử dụng dữ kiện \(v\left( 0 \right) = 15\) để tìm C.

- Quãng đường đi được sau 10 giây là: \(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \).

Cách giải:

Ta có \(v = \int {a\left( t \right)dt = \int {\left( {3t - 8} \right)dt} }  = \dfrac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C.\)

Vì ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s nên ta có: \(v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15.\)

\( \Rightarrow v = \dfrac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15.\)

Vậy quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là: \(s = \int\limits_0^{10} {\left( {\dfrac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right)dt = 250} .\)

Chọn D.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Viết tọa độ tổng quát của M (dựa vào đường thẳng d).

- Thay tọa độ điểm M vào mặt phẳng \(\left( P \right)\) rồi tìm tọa độ điểm M và suy ra a, b, c.

Cách giải:

Vì \(M = \left( d \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( d \right)\\M \in \left( P \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(M \in \left( d \right):\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\)\( \Leftrightarrow M\left( {2t + 1;\,\,t - 1;\,\,2t} \right).\)

          \(M \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 2t + 1 - t + 1 + 4t + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1.\)

Khi đó ta có \(M\left( { - 1; - 2; - 2} \right)\)\( \Rightarrow a =  - 1,\,\,b =  - 2,\,\,c =  - 2\)

Vậy \(P = a + b + c =  - 1 - 2 - 2 =  - 5.\)

Chọn C.

Câu 40 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

Đặt \(I = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)f'\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \left. {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  \)\(= f\left( 2 \right) - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)

Mà \(I = b;\,\,f\left( 2 \right) = a\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = a - b.\)

Chọn A.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất chia hết cho 3: Số chia hết cho 3 là số có tổng tất cả các chữ số chia hết cho 3.

Cách giải:

Trong đoạn \(\left[ {2;9} \right]\) có

+) 3 số chia hết cho 3: \(\left\{ {3;6;9} \right\}\).

+) 2 số chia 3 dư 1: \(\left\{ {4;7} \right\}\).

+) 3 số chia 3 dư 2: \(\left\{ {2;5;8} \right\}\).

Để \(a + b\) chia hết cho 3 thì

+) Cả 2 số a, b đều chia hết cho 3 có \(A_3^2 = 6\) số phức thỏa mãn.

+) 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: Có \(C_2^1.C_3^1.2! = 12\) số phức thỏa mãn.

Vậy có tất cả 18 số phức thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Tìm bán kính mặt cầu: Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đã cho: - Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Áp dụng định lý Pytago để tính bán kính đường tròn.

- Đường tròn bán kính r có chu vi \(C = 2\pi r\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) có tâm là \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + \sqrt 2 y - z + 3 = 0\) là \(d = \dfrac{3}{{\sqrt {1 + 2 + 1} }} = \dfrac{3}{2}.\)

Áp dụng định lý Pytago ta có \({R^2} = {r^2} + {d^2} \Rightarrow r = \sqrt {5 - {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}.\)

Vậy chu vi đường tròn bán kính r bằng \(C = 2\pi r = \pi \sqrt {11} .\)

Chọn A.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Từ giả thiết \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\), chia cả 2 vế cho \({f^2}\left( x \right)\) và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\) tìm hằng số C.

- Tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).

Cách giải:

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^2}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \int {{x^2}dx}  \Leftrightarrow }  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{{ - 10}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{10}}{3} = \dfrac{{{x^3} - 10}}{3}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{3}{{10 - {x^3}}}\end{array}\)

Vậy \(f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{{10 - {2^3}}} = \dfrac{3}{2}.\)

Chọn B.

Câu 44 (VDC)

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z - 1 + i} \right| \le \left| {z - 3 - 5i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 + i} \right| \le \left| {x + yi - 3 - 5i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le {\left( {x - 3} \right)^2} \\+ {\left( {y - 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 \le {x^2}\\ - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\\ \Leftrightarrow 4x + 12y - 32 \le 0\\ \Leftrightarrow x + 3y \le 8\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\left( {x;y} \right)\) là cặp số thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 3y \le 8\end{array} \right.\).

Miền nghiệm là tam giác OAB (phần không bị gạch, kể cả bờ là các cạnh của tam giác OAB), với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {0;\dfrac{8}{3}} \right)\), \(B\left( {8;0} \right)\).

Ta có: \(T\left( O \right) = 0,\,\,T\left( A \right) = 168,\,\,T\left( B \right) = 280\).

Vậy \(\max T = 280 \Leftrightarrow z = 8.\) 

Chọn D.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính chỏm cầu \({V_{cc}} = \pi {h^2}\left( {R - \dfrac{h}{3}} \right)\), với \(R\) là bán khối cầu, h là chiều cao của chỏm cầu.

Cách giải:

Ta có đường kính mặt cầu là \(60.2 = 120\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là \(80cm\)

Nên chiều cao chỏm cầu là \(h = \dfrac{{120 - 80}}{2} = 20\,\,\left( {cm} \right).\)

Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao \(h = 20\) và bán kính \(60cm\)là

\({V_{cc}} = \pi {h^2}\left( {R - \dfrac{h}{3}} \right) = \pi {.20^2}\left( {60 - \dfrac{{20}}{3}} \right)\)\( = \dfrac{{64000}}{3}\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = \dfrac{{64\pi }}{3}\,\,\left( l \right)\)

Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.60^3}\)\( = 288000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = 288\pi \,\,\left( l \right)\)

Khi đó thể tích thùng rượu là \(V' = V - 2{V_{cc}} = \dfrac{{736}}{3}\pi \,\,\left( l \right) \approx 771\,\,\left( l \right).\)

Chọn A.

Câu 46 (VDC)

Phương pháp:

- Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \dfrac{5}{2}\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {1;2} \right);\) \(\left( { - 1; - 2} \right);\)\(\left( { - 3;2} \right)\). Xác định giá trị m, n, p.

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \dfrac{5}{2}\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {1;2} \right);\) \(\left( { - 1; - 2} \right);\)\(\left( { - 3;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m + n + p - \dfrac{5}{2} = 2\\ - m + n - p - \dfrac{5}{2} =  - 2\\ - 27m + 9n - 3p - \dfrac{5}{2} = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\n = \dfrac{5}{2}\\p = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{2}.\)

Xét phương trình haonfh độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 3\\{x_2} =  - 1\\{x_3} = 1\end{array} \right.\)

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) bằng

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{2} - {x^2} - 2x + 1} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\, + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^2} + 2x - 1 - \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}} \right)dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}} \right)dx} \\\,\,\,\,\, + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right)dx} \\\,\,\,\,\, = 2 + 2 = 4.\end{array}\)

Chọn C.

Câu 47 (VDC)

Phương pháp:

- Tìm \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa d’ và vuông góc với d.

- Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Tìm phương trình đường thẳng d’.

Cách giải:

+) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa d’ và vuông góc với \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) có phương trình là   \(2x + 2y - z + 9 = 0\)

+) Đường thẳng m đi qua điểm A và vuông góc vói mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Nên đường thẳng m có vecto chỉ phương là \(\left( {2;2; - 1} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) có dạng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\)

Gọi B là giao điểm của đường thẳng m và mặt phẳng \(\left( P \right)\)

\(\begin{array}{l}B\left( {2t + 1;2t + 2; - t - 3} \right) \\\in \left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0 \Rightarrow t =  - 2\\ \Rightarrow B\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\end{array}\)

Để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ là nhỏ nhất thì d’ đi qua \(B\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\) và \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {BM}  = \left( {1;0;2} \right)\)

Phương trình đường thẳng d’ là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Chọn D.

Câu 48 (VDC)

Cách giải:

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {a;b;c} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IM = IN\\IM = IP\\d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = IM\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ = {\left( {a - 5} \right)^2} + {b^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} \\= {a^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}3a - b - 4c = 2\\a + 4b + 3c = 5\\4 - 4a + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = a - 1\\b = 2 - a\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4 - 4a + {\left( {2 - a - 1} \right)^2}\\ + {\left( {a - 1 - 4} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 12a + 30 = 0\end{array}\)

Phương trình vô nghiệm.

Chọn A.

Câu 49 (VD)

Phương pháp:

- Tìm điểm biểu diễn của các số phức.

- Dựa vào diện tích tam giác để xác định các số phức.

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow {\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) = a - b + \left( {a + b} \right)i\)

Khi đó \(A\left( {a;b} \right);B\left( {a - b;a + b} \right)\)

Số phức \(z' = {\rm{w}} - z =  - b + ai\)

Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}} \) \( = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\( \Rightarrow OA = \sqrt 2 .OB\)

Mà \(\left| {z'} \right| = AB = OA\)

Tam giác OAB có \(OA = AB;OB = \sqrt 2 OA\) nên tam giác vuông cân tại A.

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{{A{B^2}}}{2} = 8\)\( \Rightarrow AB = 4 \Rightarrow \left| {{\rm{w}} - z} \right| = 4\)

Chọn D.

Câu 50 (VD)

Phương pháp:

- Viết phương trình parabol.

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn 

Cách giải:

Coi N là gốc tọa độ thì ta có \(M\left( {0;4} \right);A\left( { - 2;0} \right);B\left( {2;0} \right)\)

Parabol có dạng \(y =  - {x^2} + 4\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parobol và trục hoành là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx}  = \dfrac{{32}}{3}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parobol là đường thẳng \(y = \dfrac{8}{3}\) là \({S_1} = \int\limits_{ - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}} {\left| { - {x^2} + 4 - \dfrac{8}{3}} \right|dx} \)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parobol là đường thẳng \(y = \dfrac{4}{3}\) là \({S_2} = \int\limits_{ - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}}^{\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} {\left| { - {x^2} + 4 - \dfrac{4}{3}} \right|dx} \)

Khi đó số tiền để lắp kính là \(T = 200.{S_1} + 150\left( {{S_2} - {S_1}} \right)\)\( + 200\left( {\dfrac{{32}}{3} - {S_2}} \right) = 1.946\)

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm