Đề số 7 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {2;1; - 2} \right);N\left( {4; - 5;1} \right)\). Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. \(\sqrt {41} \)             B. 7.

C. 49.                             D. \(\sqrt 7 \)

Câu 2: Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 3} \right)^5}\) là

A. \(F\left( x \right) = 10{\left( {2x + 3} \right)^4} + C.\)

B. \(F\left( x \right) = 5{\left( {2x + 3} \right)^4} + C.\)

C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^6}}}{{12}} + C.\)          

D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^6}}}{6} + C.\)

Câu 3: Cho số phức \(z = 2 - i\). Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, điểm biểu diễn của số phức \(\overline z \) có tọa độ là

A. \(\left( {2; - 1} \right).\)   B. \(\left( {2;1} \right).\)

C. \(\left( {1;2} \right).\)      D. \(\left( { - 2;1} \right).\)

Câu 4: Số phức z thỏa mãn \(2z - 3\left( {1 + i} \right) = iz + 7 - 3i\) là

A. \(z = \frac{{14}}{5} + \frac{8}{5}i.\)

B. \(z = 4 - 2i.\)

C. \(z = 4 + 2i.\)

D. \(z = \frac{{14}}{5} - \frac{8}{5}i.\)

Câu 5: Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng

A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|dx} \)

B. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

C. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)

D. \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} } \right|.\)

Câu 6: Tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \) bằng:

A. \(\frac{{{e^2} + 1}}{2}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \( - \frac{1}{2}\)

D. \(\frac{{{e^2} - 1}}{2}\)

Câu 7: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2;1;2} \right)\) là

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\)

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 5.\)

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25.\)

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25.\)

Câu 8: Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} \) bằng

A. 6.                               B. 12.

C. 9.                               D. 5.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0\) có một vecto pháp tuyến là

A. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;0; - 1} \right)\)

C. \(\overrightarrow n  = \left( {2;0;1} \right)\)

D. \(\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Câu 10: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1;\) \(x = 2\) bằng

A. \(\frac{7}{3}.\)               B. \(\frac{2}{3}.\)

C. \(\frac{3}{2}.\)               D. \(\frac{1}{3}.\)

Câu 11: Biết rằng \(\left( {2 + 3i} \right)a + \left( {1 - 2i} \right)b = 4 + 13i\) với \(a,\,\,b\) là các số thực. Giá trị của \(a + b\) bằng

A. 1.                               B. 9.

C. 5.                               D. \( - 3.\)

Câu 12: Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = m\) bằng 10 là

A. \(m = 5\)                      B. \(m = 1.\)

C. \(m = \frac{7}{2}.\)         D. \(m = 2.\)

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\) và \(B\left( {1; - 1;1} \right)\). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. \(\left( {2;2;6} \right)\)

B. \(\left( {0; - 4; - 4} \right)\)

C. \(\left( {0; - 2; - 2} \right)\)

D. \(\left( {1;1;3} \right)\)

Câu 14: Hai số phức \(\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\) và \(\frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. \({z^2} - 3z - 4 = 0\)

B. \({z^2} + 3z + 4 = 0\)

C. \({z^2} - 3z + 4 = 0\)

D. \({z^2} + 3z - 4 = 0\)

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) là

A. \(F\left( x \right) =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)

B. \(F\left( x \right) =  - \cos 2x + C.\)                      

C. \(F\left( x \right) =  - 2\cos 2x + C.\)

D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)

Câu 16: Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y =  - 6\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y =  - 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 6t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Câu 17: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0;\) \(x = 1\) quanh trục hoành bằng

A. \(\frac{{2\pi }}{3}.\)         B. \(\frac{{4\pi }}{3}.\)

C. \(\frac{{8\pi }}{{15}}.\)     D. \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)

Câu 18: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right],\) \(f\left( { - 1} \right) = 8;\) \(f\left( 2 \right) =  - 1\). Tích phân \(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx} \) bằng

A. \( - 9\)                         B. 9.

C. 1.                               D. 7.

Câu 19: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\). Bán kính của mặt cầu có tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:

A. \(1\)                            B. \(\frac{{11}}{3}\)

C. \(3\)                            D. \(\frac{1}{3}\)

Câu 20: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\) có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là

A. \(I\left( { - 4;1;0} \right);\,\,R = 4.\)

B. \(I\left( {8; - 2;0} \right);\,\,R = 2\sqrt 7 .\)

C. \(I\left( {4; - 1;0} \right);\,\,R = 4.\)

D. \(I\left( {4; - 1;0} \right);\,\,R = 16.\)

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( {1;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 7 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm I và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right)\). Biết rằng hình tròn \(\left( C \right)\) có diện tích bằng \(16\pi \). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình là

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 16.\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 7.\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25.\)

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9.\)

Câu 22: Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {x - 2} \right){e^{2x}}dx} \) bằng

A. \(\frac{{5 - 3{e^2}}}{4}.\)

B. \(\frac{{5 - 3{e^2}}}{2}.\)

C. \(\frac{{5 + 3{e^2}}}{4}.\)

D. \(\frac{{ - 5 - 3{e^2}}}{4}.\)

Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x\) là

A. \(F\left( x \right) = x\cos x + \sin x + C.\)               

B. \(F\left( x \right) = x\cos x - \sin x + C.\)

C. \(F\left( x \right) =  - x\cos x - \sin x + C.\)

D. \(F\left( x \right) =  - x\cos x + \sin x + C.\)

Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = 2x\) bằng

A. \(\frac{{20}}{3}.\)           B. \(\frac{{16}}{3}\)

C. 4.                               D. \(\frac{4}{3}\)

Câu 25: Cho \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \). Khi đó \(\int {f\left( {2x - 3} \right)dx} \)

A. \(F\left( {2x - 3} \right) + C.\)

B. \(\frac{1}{2}F\left( {2x - 3} \right) + C.\)

C. \(\frac{1}{2}F\left( {2x} \right) - 3 + C.\)

D. \(F\left( {2x} \right) - 3 + C.\)

Câu 26: Gọi \({z_1};\,\,{z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\). Giá trị \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) bằng

A. 10.                             B. \(2\sqrt 5 \)

C. 2.                               D. 20.

Câu 27: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 3;4} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;4;1} \right)\) là

A. \(2x - 4y - z - 12 = 0.\)

B. \(2x - 3y + 4z - 12 = 0\)

C. \(2x - 4y - z + 12 = 0\)

D. \(2x - 3y + 4z + 12 = 0\)

Câu 28: Phần ảo của số phức\(z = 2019 + {i^{2019}}\) bằng

A. 2019                          B. -1

C. -2019                         D. 1

Câu 29: Mô đun của số phức \(z =  - 1 + i\) bằng

A. 2.                               B. 1.

C. 0.                               D. \(\sqrt 2 .\)

Câu 30: Tìm số phức z thỏa mãn \(\overline z  = 2 - i\) là

A. \(z = 2 + i\).

B. \(z = 1 - 2i\)

C. \(z =  - 2 - i\)

D. \(z =  - 2 + i\)

Câu 31: Biết số phức thỏa mãn \(\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) và \(\left| z \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng

A. \(\frac{2}{5}.\)               B. \(\frac{1}{5}.\)

C. \( - \frac{2}{5}.\)            D. \( - \frac{1}{5}.\)

Câu 32: Biết \(F\left( x \right) =  - \frac{{\left( {x - a} \right){\rm{cos3}}x}}{b} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2019\) là  một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\sin 3x,\)\(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\) . Giá trị của \(ab + c\) bằng

A. 18.                             B. 14.

C. 15.                             D. 10.

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow m  = \left( {4;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(\overrightarrow p \) là vecto cùng hướng với \(\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) và \(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow p \) là

A. \(\left( { - 9;12;0} \right)\)

B. \(\left( {9; - 12;0} \right)\)

C. \(\left( {0;9; - 12} \right)\)

D. \(\left( {0; - 9;12} \right)\)

Câu 34: Trong không gian Oxyz cho hình thang cân ABCD có đáy AB và CD. Biết \(A\left( {3;1; - 2} \right),\) \(B\left( { - 1;3;2} \right),\) \(C\left( { - 6;3;6} \right);\) \(D\left( {a;b;c} \right);\) \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Giá trị \(a + b + c\) bằng

A. \( - 1\).                        B. 1.

C. 3.                               D. \( - 3.\)

Câu 35: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới. mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( { - 1} \right).\)

B. \(f\left( 0 \right) > f\left( { - 1} \right) > f\left( 2 \right).\)

C. \(f\left( 2 \right) > f\left( 0 \right) > f\left( { - 1} \right).\)

D. \(f\left( { - 1} \right) > f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right).\)

Câu 36: Cho số phức \(z = m - 2 + \left( {{m^2} - 1} \right)i,\,\,m \in \mathbb{R}\). Gọi \(\left( C \right)\) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và trục hoành bằng

A. \(\frac{4}{3}.\)               B. \(\frac{{32}}{3}.\)

C. \(\frac{8}{3}.\)               D. 1.

Câu 37: Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\). Gọi \({S_1};\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích phần không bị gạch và phần bị gạch như hình bên dưới.  Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng.

A. \(\frac{3}{2}.\)            B. 3.

C. \(\frac{1}{2}.\)               D. 2.

Câu 38: Biết tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \frac{{a\sqrt 3  + b}}{c}} \)\(;a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a + b + c\) bằng

A. \( - 1.\)                        B. 12.

C. 7.                               D. 5.

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\) với m là tham số; và đường thằng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 3 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\). Biết đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho \(AB = 8\). Giá trị của m là

A. \(m = 12.\)

B. \(m =  - 12.\)

C. \(m =  - 10.\)

D. \(m = 5.\)

Câu 40: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 2t + 20\), trong đó t là thời gian (tính bằng giấy) kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng bằng

A. 125 m.                       B. 75 m.

C. 200 m.                       D. 100 m.

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right),\) \(B\left( { - 1; - 1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là

A. \(3x + 14y + 4z - 5 = 0.\)

B. \(2x - y + 2z - 2 = 0.\)

C. \(2x - y + 2z + 2 = 0.\)

D. \(3x + 14y + 4z + 5 = 0.\)

Câu 42: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 2 \right) = 16\) và \(\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx = 4} \). Tích phân \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \) bằng:

A. 112.                           B. 12.

C. 56.                             D. 144.

Câu 43: Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x{e^{{x^2} + 2}}dx = \frac{a}{2}\left( {{e^b} - {e^c}} \right)} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng

A. 4.                               B. 7.

C. 5.                               D. 6.

Câu 44: Biết rằng \(z = {m^2} - 3m + 3 + \left( {m - 2} \right)i\)  \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) là một số thực. Giá trị của biểu thức  \(1 + z + {z^2} + {z^3} + ... + {z^{2019}}\) bằng

A. 2019.                         B. 0.

C. 1.                               D. 2020.

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\). Gọi \({d_2}\) là đường thẳng đi qua  A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;1;2} \right)\). Giá trị của a sao cho đường thẳng \({d_1}\) cắt đường thẳng \({d_2}\) là

A. \(a =  - 1.\)

B. \(a = 2.\)

C. \(a = 0.\)

D. \(a = 1.\)

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 1} \right)\) và \(B\left( {1;1;3} \right)\). Tọa độ điểm M  thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất là

A. \(M\left( { - 2;3;0} \right).\)

B. \(M\left( {2;3;0} \right).\)

C. \(M\left( { - 2; - 3;0} \right).\)

D. \(M\left( {2; - 3;0} \right).\)

Câu 47: Trong không gian Oxyz, biết mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị tổng \(a + b + c\) bằng

A. 2.                               B. \( - 1.\)

C. 1.                               D. \( - 2.\)

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z - 6 = 0\). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

A. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{7} = \frac{{z - 5}}{3}.\)

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{7} = \frac{{z + 1}}{3}.\)

C. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{7} = \frac{{z - 1}}{3}.\)

D. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{7} = \frac{{z + 5}}{3}.\)

Câu 49: Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x\) và \(F\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right)\) bằng

A. \(\frac{1}{3}.\)               B. 1.

C. \(\frac{1}{2}.\)               D. \(\frac{1}{6}.\)

Câu 50: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{5\left( {\overline z  + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\). Mô đun số phức \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\) bằng

A. 13.                             B. 2.

C. \(\sqrt {13} .\)      D. \(\sqrt 2 \)

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \(MN = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}} \)

Cách giải:

\(MN = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} \)\( = 7\)

Chọn B.

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ: \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^c}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{c + 1}}}}{{c + 1}}} \)

Cách giải:

Ta có \(\int {{{\left( {2x + 3} \right)}^5}dx = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^6}}}{6} + C} \)\( = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^6}}}{{12}} + C\)

Chọn C.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

- Điểm biểu diễn số phức \(\overline z  = a - bi\) trong mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {a; - b} \right)\).

Cách giải:

Ta có: \(z = 2 - i \Rightarrow \overline z  = 2 + i\)

\( \Rightarrow \)  Điểm biểu diễn của số phức \(\overline z \) trong mặt phẳng tọa độ là \(\left( {2;1} \right).\)

Chọn B.

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với \(z\) và tìm \(z\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}2z - 3\left( {1 + i} \right) = iz + 7 - 3i\\ \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)z = 7 - 3i + 3\left( {1 + i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)z = 10\\ \Leftrightarrow z = \frac{{10}}{{2 - i}} = 4 + 2i\end{array}\)

Chọn C.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Chọn B.

Câu 6 (TH) 

Phương pháp: 

Sử dụng phương pháp tính phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \ln x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,I = \left. {{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \\ \Leftrightarrow I = {\ln ^2}e - {\ln ^2}1 - I\\ \Leftrightarrow 2I = 1 \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\end{array}\)

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua điểm \(A\) có bán kính \(R = IA\).

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

\(IA = \)\(\sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \)

- Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Ta có \(I\left( { - 1;1; - 2} \right);A\left( {2;1;2} \right)\) \( \Rightarrow IA = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {4^2}}  = 5\)

Vì mặt cầu tâm \(I\) đi qua điểm \(A\) có bán kính \(R = IA = 5\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\)

Chọn A.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

- Nhân phá ngoặc biểu thức dưới dấu tích phân.

- Sử dụng nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right)dx} \\ = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\end{array}\)

Chọn C.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0\) có 1 vecto pháp tuyến là \(\left( {2;0; - 1} \right).\)

Chọn B.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\).

- Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({\left( {x - 2} \right)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\) bằng: \(S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx}  = \frac{2}{3}.\)

Chọn B.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

- Hai số phức bằng nhau \({a_1} + {b_1}i = {a_2} + {b_2}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\).

- Giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b\) sau đó tính tổng \(a + b\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2 + 3i} \right)a + \left( {1 - 2i} \right)b = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left( {2a + b} \right) + \left( {3a - 2b} \right)i = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 4\\3a - 2b = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a + b = 3 + \left( { - 2} \right) = 1.\)

Chọn A.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = m\) bằng là: \(S = \int\limits_0^m {\left| {2x + 3} \right|dx} \)\( = \left| {\left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^m} \right| = \left| {{m^2} + 3m} \right|.\)

Theo bài ra ta có: \(S = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{m^2} + 3m} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 3m = 10\\{m^2} + 3m =  - 10\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m\) là số nguyên dương. Vậy \(m = 2\).

Chọn D.

Câu 13 (NB)

Phương pháp:

Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).

Cách giải:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2};\frac{{5 + 1}}{2}} \right)\)\( \Rightarrow I\left( {1;1;3} \right).\)

Chọn D.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tính tổng \(S = {z_1} + {z_2}\) và tích \(P = {z_1}{z_2}\) của hai số phức.

- Khi đó \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0.\)

Cách giải:

Đặt \({z_1} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i;{z_2} = \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = {z_1} + {z_2} = 3\\P = {z_1}.{z_2} = 4\end{array} \right..\)

Vậy \({z_1};\,\,{z_2}\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - 3z + 4 = 0.\)

Chọn C.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm lượng giác: \(\int {\sin kxdx}  =  - \frac{1}{k}\cos kx + C\).

Cách giải:

\(\int {f\left( x \right)dx = \int {\sin 2xdx} } \)\( =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C\)

Chọn A.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Cách giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 1 + t\end{array} \right..\)

Chọn A.

Câu 17 (NB)

Phương pháp:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a;\) \(x = b\) quanh trục hoành bằng \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0,\) \(x = 1\) quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx}  = \frac{{8\pi }}{{15}}.\)

Chọn C.

Câu 18 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton – Leibniz: \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).

Cách giải:

\(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2\)\( = f\left( 2 \right) - f\left( { - 1} \right) =  - 1 - 8 =  - 9\)

Chọn A.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Bán kính của mặt cầu có tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\).

- Khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là : \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right).\)

Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{9}{3} = 3\)

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = 3\).

Chọn C.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\) có tâm \(I\left( {4; - 1;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} - 1}  = 4.\)

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Tính khoảng cách từ I xuống : Khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là : \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Tính bán kính đường tròn giao tuyến \(r\), sử dụng công thức \(S = \pi {r^2}\).

- Áp dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\).

- Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Ta có \(I\left( {1;2;0} \right);\) \(\left( P \right):2x - 2y + z - 7 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + 0 - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3.\)

Đường tròn tâm A có \(S = 16\pi \)\( \Rightarrow \pi .A{B^2} = 16\pi  \Rightarrow AB = 4\)

Áp dụng định lý Pyatgo trong tam giác ABI có \(I{B^2} = I{A^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2}\)\( \Rightarrow R = IB = 5\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\) bán kính \(R = 5\) có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25.\)

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

Gọi \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x - 2} \right){e^{2x}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right..\)

Khi đó ta có: 

\(\begin{array}{l}I = \left. {\left( {x - 2} \right)\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} \\\,\,\, =  - \frac{1}{2}{e^2} + 1 - \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1\\\,\,\, =  - \frac{1}{2}{e^2} + 1 - \frac{{{e^2}}}{4} + \frac{1}{4}\\\,\,\, =  - \frac{3}{4}{e^2} + \frac{5}{4} = \frac{{5 - 3{e^2}}}{4}\end{array}\)

Chọn A.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \(\int {udv}  = uv - \int {vdu}  + C\).

Cách giải:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {x\sin x} dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\)

Khi đó \(\int {f\left( x \right) =  - x\cos x + \int {\cos xdx}  + C} \)\( =  - x\cos x + \sin x + C\)

Chọn D.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(4x - {x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên là:

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}  = \frac{4}{3}.\)

Chọn D.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = 2x - 3\).

Cách giải:

Đặt \(t = 2x - 3 \Rightarrow dt = 2xdx\).

Khi đó ta có: \(\int {f\left( {2x - 3} \right)dx}  = \frac{1}{2}\int {f\left( t \right)dt} \).

Mà \(\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C\) nên \(\int {f\left( t \right)dt}  = F\left( t \right) + C\)\( = F\left( {2x - 3} \right) + C\)

Vậy \(\int {f\left( {2x - 3} \right)dx}  = \frac{1}{2}F\left( {2x - 3} \right) + C\).

Chọn B.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

Tìm nghiệm của phương trình rồi tìm tính.

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = 1 - 2i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\end{array}\)

Chọn A.

Câu 27 (NB)

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {2; - 3;4} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;4;1} \right)\) có phương trình là

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 3} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\)

Chọn A.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng \({i^2} =  - 1\).

Cách giải:

Ta có \(z = 2019 + {i^{2019}} = 2019 + i.{\left( {{i^2}} \right)^{1009}}\)\( = 2019 + i\left( { - 1} \right) = 2019 - i\)

Vậy z có phần ảo bằng \( - 1.\)

Chọn B.

Câu 29 (NB)

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có \(z =  - 1 + i\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

Chọn D.

Câu 30 (NB)

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

Ta có \(\overline z  = 2 - i \Rightarrow z = 2 + i.\)

Chọn A.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Đặt ẩn \(z = a + bi\), rút a  theo b rồi tính.

- Tính \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), thế \(a\) theo \(b\) và tìm GTNN bằng cách đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| \\= \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {b + 3} \right)^2} + {a^2} \\= {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} \\= {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 2b - 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1}  = \sqrt {5\left( {{b^2} + \frac{4}{5}b} \right) + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right) - \frac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {b + \frac{2}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(b =  - \frac{2}{5} \Rightarrow a =  - \frac{1}{5}.\)

Vậy \({\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a =  - \frac{1}{5}\).

Chọn D.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \(\int {udv}  = uv - \int {vdu}  + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Cách giải:

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)}  = \int {\left( {x - 2} \right)\sin 3x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = \sin 3xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \frac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ =  - \frac{1}{3}\left( {x - 2} \right)\cos 3x + \frac{1}{3}\int {\cos 3xdx} \\ =  - \frac{{\left( {x - 2} \right)\cos 3x}}{3} + \frac{1}{9}\sin 3x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( x \right) =  - \frac{{\left( {x - a} \right)\cos 3x}}{b} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2019\)

Nên \(a = 2;\,\,b = 3;\,\,c = 9.\)

Vậy \(ab + c = 2.3 + 9 = 15.\)

Chọn C.

Câu 33 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\).

- Vì \(\overrightarrow p \) cùng hướng với \(\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) nên \(\overrightarrow p  = k\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) với \(k > 0\).

- Tìm \(\overrightarrow p \) và tính \(\left| {\overrightarrow p } \right|\), từ đó tìm được hằng số \(k\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow m  = \left( {4;3;1} \right);\,\,\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = \left( {3; - 4;0} \right).\)

Mà \(\overrightarrow p ;\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) cùng hường nên \(\overrightarrow p  = \left( {3k; - 4k;0} \right);\left( {k > 0} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {3k} \right)}^2} + {{\left( {4k} \right)}^2}}  = 15\\ \Leftrightarrow \sqrt {25{k^2}}  = 15\\ \Leftrightarrow 5k = 15\,\,\left( {Do\,\,k > 0} \right)\\ \Leftrightarrow k = 3\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow p  = \left( {9; - 12;0} \right).\)

Chọn B.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất hình thang cân: ABCD là hình thang cân nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\)

- \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {BA} \,\,\left( {k > 0} \right)\), tham số hóa tọa độ điểm \(D\).

- Thay vào biểu thức \(AD = BC\) rồi tìm D.

- Loại trường hợp \(\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} \) cùng phương.

Cách giải:

Vì \(ABCD\)  là hình thang cân nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\)

Ta có: \(A\left( {3;1; - 2} \right);\,\,\,B\left( { - 1;3;2} \right);\)\(C\left( { - 6;3;6} \right);\,\,\,D\left( {a;b;c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {4; - 2; - 4} \right);\)\(\overrightarrow {CD}  = \left( {a + 6;b - 3;c - 6} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {BA} \,\,\left( {k > 0} \right)\), khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + 6 = 4k\\b - 3 =  - 2k\\c - 6 =  - 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4k - 6\\b =  - 2k + 3\\c =  - 4k + 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {4k - 6; - 2k + 3; - 4k + 6} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC \Leftrightarrow A{D^2} = B{C^2}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4k - 9} \right)^2} + {\left( { - 2k + 2} \right)^2} + {\left( { - 4k + 8} \right)^2}\\ = {\left( { - 5} \right)^2} + {0^2} + {4^2}\\ \Leftrightarrow 36{k^2} - 144k + 108 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \(k = 3 \Rightarrow D\left( {6; - 3; - 6} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {3; - 4; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;0;4} \right)\) không cùng phương (thỏa mãn).

Với \(k = 1 \Rightarrow D\left( { - 2;1;2} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 5;0;4} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;0;4} \right)\) cùng phương (không thỏa mãn).

Vậy \(D\left( {6; - 3; - 6} \right) \Rightarrow a + b + c =  - 3.\)

Chọn D.

Câu 35 (VDC)

Phương pháp:

- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- So sánh \(f\left( 0 \right)\) với \(f\left( { - 1} \right),\,\,f\left( 2 \right)\).

- Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(x =  - 1,\,\,x = 0\) và trục hoành, \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(x = 0,\,\,x = 2\) và trục hoành.

- Giải bất phương trình \({S_2} > {S_1}\).

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 0 \right) > f\left( { - 1} \right).\,\,f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right)\).

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(x =  - 1,\,\,x = 0\) và trục hoành, ta có: \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f'\left( x \right)dx} \right|}  = \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx} \)\( = f\left( 0 \right) - f\left( { - 1} \right) > 0\)

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(x = 0,\,\,x = 2\) và trục hoành, ta có:

\(\begin{array}{l}{S_2} = \int\limits_0^2 {\left| {f'\left( x \right)dx} \right|} \\ =  - \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} \\ =  - \left[ {f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right)} \right]\\ = f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right) > 0\end{array}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy được:

\(\begin{array}{l}{S_2} > {S_1}\\ \Leftrightarrow f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right) > f\left( 0 \right) - f\left( { - 1} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( 2 \right) < f\left( { - 1} \right)\end{array}\).

Vậy \(f\left( 0 \right) > f\left( { - 1} \right) > f\left( 2 \right)\).

Chọn B.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\).

- Tìm hàm số biểu thị mối liên hệ giữa tọa độ diểm \(M\) không phụ thuộc vào \(m\).

- Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Ta có điểm biểu diễn của số phức z là \(M\left( {m - 2;{m^2} - 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 2\\y = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow y + 1 = {\left( {x + 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow y = {x^2} + 4x + 3\)

\( \Rightarrow \left( C \right):\,\,y = {x^2} + 4x + 3\) là 1 parabol.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 4x + 3\) với trục hoành là: \({x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} \)\( =  - \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)}  = \frac{4}{3}.\)

Chọn A.

Câu 37 (VD)

Phương pháp:

- \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 4\).

- Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

- Tính \({S_1} = {S_{OABC}} - {S_2}\).

- Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Cách giải:

Ta thấy \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 4\) nên \({S_2} = \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx}  = \frac{{16}}{3}.\)

Ta có: \(OABC\) là hình vuông cạnh \(4\) nên \({S_{ABCO}} = {4^2} = 16\).

\( \Rightarrow {S_1} = {S_{OABC}} - {S_2} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}.\)

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{32}}{3}:\frac{{16}}{3} = 2.\)

Chọn D.

Câu 38 (VD) – Tích phân

Phương pháp:                   

- Biến đổi lượng giác: \(\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\)\( = \frac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Tách thành 2 tích phân, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C\) và phương pháp đổi biến.

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng \(a + b + c\).

Cách giải:

Ta có \(\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\)\( = \frac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\ \Leftrightarrow I = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \({I_1} =  - \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{{t^2}}}}  = \left. {\frac{1}{t}} \right|_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt 3 }} - 1 = \frac{{2\sqrt 3  - 3}}{3}\)

Vậy \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{2\sqrt 3  - 3}}{3}\) \( = \frac{{\sqrt 3  - 2\sqrt 3  + 3}}{3} = \frac{{ - \sqrt 3  + 3}}{3}\)

Mà \(I = \frac{{a\sqrt 3  + b}}{c}\)\( \Rightarrow a =  - 1;\,\,b = 3;\,\,c = 3.\)

Vậy \(a + b + c\) \( =  - 1 + 3 + 3 = 5.\)

Chọn D.

Câu 39 (VD)

Phương pháp:

- Tìm bán kính của mặt cầu: Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

- Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) dựa vào định lí Pytago.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là: \(d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), \(M\) là điểm bất kì trên đường thẳng \(\Delta \).

- Giải phương trình tìm \(m\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {4 + 9 - m}  = \sqrt {13 - m} \) với \(m \le 13\).

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IO \bot AB\) và \(OA = OB = \frac{1}{2}AB = 4\).

Đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có 1 vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(M\left( {4;3;3} \right) \in \left( \Delta  \right)\) bất kì.

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( {6;0;3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow n } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {9 + 36 + 36} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3 = IO\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) ta có:

\(\begin{array}{l}I{A^2} = I{O^2} + O{A^2}\\ \Leftrightarrow 13 - m = 9 + 16\\ \Leftrightarrow m =  - 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức \(s = \int {v\left( t \right)dt} \).

Cách giải:

Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng là:

\(s = \int\limits_0^{15} {\left( { - 2t + 20} \right)dt} \)\( = \left. {\left( { - {t^2} + 20t} \right)} \right|_0^{15} = 75.\)

Chọn B.

Câu 41 (TH)

Phương pháp:

- \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) với \(\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \) lần lượt là 1 VTPT của \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\).

- Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Ta có: \(A\left( {1;0; - 2} \right);B\left( { - 1; - 1;3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;5} \right).\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 3; - 14; - 4} \right).\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 3; - 14; - 4} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:

\( - 3\left( {x - 1} \right) - 14\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 14y + 4z + 5 = 0\)

Chọn D.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

Gọi \(I = \int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = 2f\left( {\frac{x}{2}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {2xf\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right|_0^4 - 2\int\limits_0^4 {f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = 8f\left( 2 \right) - 4\int\limits_0^4 {f\left( {\frac{x}{2}} \right)d\left( {\frac{x}{2}} \right)} \\ \Leftrightarrow I = 8.16 - 4\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = 128 - 4.4 = 112.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Đổi biến \(t = {x^2} + 2\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Cách giải:

Đặt \({x^2} + 2 = t \Rightarrow 2xdx = dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {x{e^{{x^2} + 2}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_2^3 {{e^t}dt} \\I = \left. {\frac{1}{2}{e^t}} \right|_2^3 = \frac{1}{2}\left( {{e^3} - {e^2}} \right)\end{array}\)

Mà \(I = \frac{a}{2}\left( {{e^b} - {e^c}} \right)\)\( \Rightarrow a = 1;\,\,\,b = 3;\,\,c = 2\)

Vậy \(a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6.\)

Chọn D.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Số phức là một số thực khi nó có phần ảo bằng 0. Từ đó tìm \(m\) và suy ra số phức \(z\).

- Thay số phức \(z\) tìm được tính giá trị biểu thức đề  bài yêu cầu.

Cách giải:

Vì \(z = {m^2} - 3m + 3 + \left( {m - 2} \right)i\) là số thực nên \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\)

Suy ra \(z = {m^2} - 3m + 3 = 1.\)

Vậy \(1 + z + {z^2} + ... + {z^{2019}}\)\( = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2020\)  (có 2020 số 1).

Chon D.

Câu 45 (TH)

Phương pháp:

Hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AM}  = 0\) với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\), \(M\) là điểm bất kì thuộc đường thẳng \({d_1}\).

Cách giải:

Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 5;a - 2;1 + 2a} \right)\) và \(\overrightarrow {AM}  = \left( {0;2;4} \right)\).

Để \({d_1},\,\,{d_2}\) cắt nhau thì  \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AM}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 5.0 + \left( {a - 2} \right).2 + \left( {1 - 2a} \right).4 = 0\\ \Leftrightarrow 2a - 4 + 4 - 8a = 0\\ \Leftrightarrow a = 0.\end{array}\)

Chọn C.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Tìm điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 0\)

- Phân tích và chứng minh \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

- Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất thì \(MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {Oxy} \right)\).

Cách giải:

Ta tìm điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 0\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(A\left( {3;5; - 1} \right);B\left( {1;1;3} \right) \Rightarrow I\left( {2;3;1} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 2\overrightarrow {MI} \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {Oxy} \right)\).

Mà \(I\left( {2;3;1} \right) \Rightarrow M\left( {2;3;0} \right)\).

Chọn B.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm \(H = OH \cap \left( P \right)\).

- Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng.

Cách giải:

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow OH \bot \left( P \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in OH \Rightarrow H\left( {t; - 2t;2t} \right)\).

Lại có \(H \in \left( P \right) \Rightarrow t - 2.\left( { - 2t} \right) + 2.2t + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

\( \Rightarrow H\left( { - 1;2; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow a =  - 1,\,\,b = 2,\,\,c =  - 2\)

Vậy \(a + b + c =  - 1 + 2 + \left( { - 2} \right) =  - 1.\)

Chọn B.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

- Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), khi đó \(H = d \cap d'\). Xác định tọa độ điểm \(H\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua \(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\).

Vì \(H \in d \Rightarrow H\left( {2t;3 + t;2 - 3t} \right).\)

Mà \(H \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow 2t - \left( {3 + t} \right) + 2\left( {2 - 3t} \right) - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 5t - 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\)

\( \Rightarrow H\left( { - 2;2;5} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d'\). Vì \(d' \subset \left( P \right)\) và \(d'\) cắt \(d\) nên \(H \in d'\) .

Gọi \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP của \(d\), \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;2} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 1; - 7; - 3} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d'\).

\( \Rightarrow \left( {1;7;3} \right)\) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d'\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) cần tìm là: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{7} = \frac{{z - 5}}{3}\).

Chọn A.

Câu 49 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\) để tìm \(F\left( x \right).\)

- Sử dụng giả thiết \(F\left( 1 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\).

- Suy ra hàm số \(F\left( x \right)\) hoàn chỉnh và tính \(F\left( { - 1} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + x} \right)dx} } \)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\)

Mà \(F\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C = 1\)\( \Leftrightarrow C = \frac{1}{6}.\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{6}.\)

Vậy \(F\left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.\)

Chọn A.

Câu 50 (VD)

Phương pháp:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

- Thay vào biểu thức, nhân chéo sau đó tìm \(a,\,\,b\).

- Suy ra số phức \(z\) và tính \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\).

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{5\left( {\overline z  + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow \frac{{5\left( {a - bi + i} \right)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Leftrightarrow 5\left[ {a - \left( {b - 1} \right)i} \right] \\= \left( {a + 1 + bi} \right)\left( {2 - i} \right)\\ \Leftrightarrow 5a - 5\left( {b - 1} \right)i\\= 2\left( {a + 1} \right) + b + \left( {2b - a - 1} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 2a + 2 + b\\5 - 5b = 2b - a - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow a = b = 1\\ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i \\= 2 + 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm