Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 11

Đề bài

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn bằng \( + \infty \) ?

A. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2n} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 - n} \right)}^2}}}\)

B. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^2}.n}}{{2n - 1}}\)

C. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( {1 + 2n} \right)}^4}}}{{{{\left( {1 + 7n} \right)}^2}.{n^3}}}\)

D. \({u_n} = \dfrac{{\left( {2n - 1} \right).{n^4}}}{{{{\left( {1 - n} \right)}^3}}}\)

Câu 2: \(\lim \dfrac{{{3^n} - 1}}{{{2^n} - {{2.3}^n} + 1}}\) bằng:

A. \( - \dfrac{1}{2}\)      B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)         D. \( - 1\)

Câu 3: Cho dãy số \({S_n} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + .... + \dfrac{1}{{{3^n}}}\) . Giới hạn \(\lim {S_n}\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{2}\)         B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{3}\)         D. \(\dfrac{4}{3}\)

Câu 4: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{4 - \sqrt[3]{{3{x^2} + 5}}}}{{x + 1}}\)  bằng:

A. \( + \infty \)               B. \( - 1\)

C. 1                                D. \( - \infty \)

Câu 5: Cho hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 - 2x + 3{x^2},\,\,x \ne 2\\m - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x = 2\end{array} \right.\). Với giá trị nào của tham số \(\;m\) thì hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 2\)?

A. 11                                 B. 9

C. 13                                 D. 11

Câu 6: Tính\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \dfrac{{x - 3}}{{x + 3}}\)

A. \( - \infty \)                B. \( + \infty \)

C. 1                                D. -3

Câu 7: Cho hàm số \(y = 3\sqrt {2 - {x^2}} \). Hàm số đã cho liên tục tại điểm

A. \(x = \sqrt 2 \)           B. \(x = 3\)

C. \(x =  - \sqrt 2 \)        D. \(x =  - 1\)

Câu 8: \(\lim \left( {3 - 2n + 4{n^3}} \right)\) bằng:

A. \( + \infty \)               B. \( - \infty \)

C. 3                                D. 4

Câu 9: Cho hàm số \(y = f(x)\). Biểu thức nào sau đây dùng để tính đạo hàm của hàm số trên tại \({{\rm{x}}_0} = 1\)

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 1} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(1 + \Delta x) - f(1)}}{{\Delta x}}\)

B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 1} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(1 + \Delta x) - f(1)}}{{\Delta x}}\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(1 + \Delta x) - f(\Delta x)}}{{\Delta x}}\)

Câu 10: Biểu thức nào sau đây là đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 4{x^2} - 1\)

A. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} + 8x\)

B. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} + 9{x^2} + 8x\)

C. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} - 8x\)

D. \(y' =  - 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} + 8x\)

Câu 11: Xét hàm số \(y = {\sin ^2}2x\). Biểu thức nào sau đây là đúng

A. \(y + y' = \left( {\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\sin 2x\)

B. \(y - y' = \left( {\sin 2x - 2\cos 2x} \right)\sin 2x\)

C. \(y - y' = \left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)\sin 2x\)

D. \(y + y' = \left( {\sin 2x + 4\cos 2x} \right)\sin 2x\)

 Câu 12: Xét hàm số\(y = \dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}\). Giá trị \(y'(1)\) bằng :

A. \(2\)                           B. \( - 3\)

C. \(3\)                           D. \(0\)

Câu 13: Xét chuyển động của vật M xác định bởi phương trình  \(s = f(t) = 3{t^2} + 2\sqrt {2t + 1} \)(m) trong đó t là thời gian.Vận tốc tức thời của M tại thời điểm \({t_0} = 4{\rm{s}}\)bằng

A. \(24\dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)     

B. \(24\dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)

C. \(\dfrac{{76}}{3}\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)

D. \(24\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)

Câu 14: Xét hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2\). Tập nghiệm của bất phương trình \(y' \ge 0\) là

A. \(1 \le {\rm{x}} \le 3\)

B. \(R\backslash \left[ {1;3} \right]\)

C. \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.\)

Câu 15:  Xét hàm số \(y = x + \sqrt {8 - {x^2}} \). Phương trình \(y' = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(1\)                         B. \(2\)

C. \(0\)                         D. \(3\)

Câu 16: Xét hàm số \(y = {{\rm{x}}^2} + 3x + 2\) có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({{\rm{x}}_0} = 0\) có phương trình là:

A. \(3{\rm{x}} + y - 2 = 0\)     B. \(y = 3x + 3\)

C. \(y =  - 3x - 2\)        D. \(3x - y + 2 = 0\)

Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 2x + 1\)  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y =  - 4x + 1\)

A. \(y =  - 4x + 2\)         B. \(y =  - 4x - 3\)

C. \(y =  - 4x - 2\)          D. \(y =  - 4x + 6\)..

Câu 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi đó véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) bằng véc tơ:

A.   \(\overrightarrow {CC'} \)

B.  \(\overrightarrow {C'D'} \)

C. \(\overrightarrow {D'C'} \)

D.   \(\overrightarrow {A'D'} \)

Câu 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ khi đó véc tơ  \(\overrightarrow {AD'} \)cùng phương với véc tơ:

A. \(\overrightarrow {C'B} \)

B. \(\overrightarrow {A'A} \)

C. \(\overrightarrow {DC} \)

D.  \(\overrightarrow {DA} \)

Câu 20: Cho hình lập phương   cạnh\(\;a\). Khi đó góc của ( \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CC'} \) ) bằng

A. \({45^0}\)                  B. \({0^0}\)

C.  \({90^0}\)                 D.  \({180^0}\)

Câu 21: Cho hình chóp \(S.{\rm{ }}ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và tất cả các cạnh đều bằng\(a\). Khi đó tích vô hướng của \(\overrightarrow {AS} \).\(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \)   là:

A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

B.  \({a^2}\)

C. \(0\)

D.   \(\dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Câu 22: Cho hình lập phương  . Khi đó đường thẳng \(AC\) vuông góc với đường thẳng:

A.                                  B. 

C.                                  D.   \(CD\)

Câu 23: Cho hình lập phương   khi đó đường thẳng \(AC\) vuông góc với mặt phẳng:

A.                                   B. 

C.                                   D.  

Câu 24: Cho hình chop\(S.ABCD\).  Cặp đường thẳng \(SC\) và đường thẳng nào sau đây chéo nhau:

A. \(AC\)                       B.  \(SB\)

C. \(SA\)                        D.   \(AB\)

Câu 25: Cho hình chóp \(S.{\rm{ }}ABCD\) có \(SH\) là đường cao . Khi đó góc của cạnh bên \(SA\) và mặt  đáy  là:

A. \(\widehat {SAH}\)  B.  \(\widehat {SBH}\)

C. \(\widehat {SCH}\)  D.   \(\widehat {SDH}\)

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1(1,5 điểm):  Tính các giới hạn sau:

a. \(\lim \dfrac{{4{n^2} - 12n + 9}}{{1 - n + 2{n^2}}}\)       

b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \dfrac{{3\sqrt {2 - x}  - 2}}{{x - 4}}\)

c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} + 5x - 14}}{{{x^2} + 3x - 10}}\)

Câu 2(0,5điểm): Tìm điều kiện của m để hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x - 1}}\,khi\,x > 1\\3x + m\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x \le 1\end{array} \right.\)  liên tục tại điểm \(x = 1\)

Câu 3(1điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau

a. \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 4\) 

b.\(y = {\cot ^4}\left( {\sqrt {3x - 1} } \right)\)

Câu 4(1,5điểm): Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)

a) Chứng minh các mặt hình chóp là các tam giác vuông

b) Gọi \(AH\) là đường cao tam giác\(SAB\). Chứng minh \(AH\) vuông góc mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

c) Biết \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)  một góc 45⁰, \(SA = a\sqrt 3 \), \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\)

Câu 5(0,5điểm): Xác định \(n\) nguyên dương thỏa mãn:

\(C_{2017}^0 + 2C_{2017}^1 + 3C_{2017}^2 + 4C_{2017}^3 + ....\)\(\,+ 2018C_{2017}^{2017} = {2^{2016}}\left( {2n + 1} \right)\)

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM:

1	2	3	4	5
B	A	A	C	C
6	7	8	9	10
B	D	A	C	A
11	12	13	14	15
D	B	B	C	A
16	17	18	19	20
D	C	C	A	C
21	22	23	24	25
D	A	B	D	A

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

\(a)\,\,\lim \dfrac{{4{n^2} - 12n + 9}}{{1 - n + 2{n^3}}} \)\(\,= \lim \dfrac{{4 - \dfrac{{12}}{n} + \dfrac{9}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{n} + 2}} = 2\)

\(b)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \dfrac{{3\sqrt {2 - x}  - 2}}{{x - 4}} = \dfrac{{3\sqrt 6  - 2}}{{ - 8}}\)

\(c)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} + 5x - 14}}{{{x^2} + 3x - 10}}\)\(\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)}} \)\(\,= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x + 7}}{{x + 5}} = \dfrac{9}{7}\)

Câu 2: TXĐ: \(D = R\)  và \({x_0} = 1 \in D\)

+ \(f\left( 1 \right) = 3 + m\)

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x - 1}}\)\(\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left[ {\sqrt {x + 3}  + 2} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} = \dfrac{1}{4}\)

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + m} \right) = 3 + m\)

Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)  thì:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow 3 + m = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{11}}{4}\)

Câu 3:

\(a)\,\,y' = 6{x^2} + 6x\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,y = {\cot ^4}\left( {\sqrt {3x - 1} } \right)\\y' = 4{\cot ^3}\left( {\sqrt {3x - 1} } \right)\left( { - \dfrac{3}{{2\sqrt {3x - 1} .{{\sin }^2}\sqrt {3x - 1} }}} \right)\end{array}\)

Câu 4:

a) Tam giác \(ABC\)  vuông theo giả thiết

\(SA \bot mp\left( {ABC} \right) \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A,\Delta SAB\) vuông tại \(A\).

\(SA \bot mp\left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) và \(AB \bot BC \Rightarrow BC \bot mp\left( {SAB} \right) \) \(\Rightarrow BC \bot SB\). Vậy tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\)

b) Theo CM trên:\(BC \bot mp\left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) , mà \(AH \bot SB \Rightarrow AH \bot mp\left( {SBC} \right)\)

c) Xác định  góc \(mp\left( {SBC} \right)\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SBA}\)

Xác định  góc \(SC\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SCA}\)\( = 45^\circ \) .

\( \Rightarrow SA = AC = \)\(a\sqrt 3 \)

Xét tam giác vuôg\(ABC\) : \({\rm{A}}{B^2} = A{C^2} - B{C^2} = {a^2}\), vậy \(AB = a\)

Vậy \(\tan \widehat {SBA}\)\( = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \)\(\sqrt 3 \)Þ\(\widehat {SBA}\)\( = 60^\circ \).

Câu 5:Xét f(x)

\(\begin{array}{l}f(x) = x{\left( {1 + x} \right)^{2017}} \\= xC_{2017}^0 + {x^2}C_{2017}^1 + {x^3}C_{2017}^2 + {x^4}C_{2017}^3 + .... + {x^{2018}}C_{2017}^{2017}\\f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{2017}} + x.2017{\left( {1 + x} \right)^{2016}}\\ = C_{2017}^0 + 2xC_{2017}^1 + 3{x^2}C_{2017}^2 + 4{x^3}C_{2017}^3 +.... + 2018{x^{017}}C_{2017}^{2017}\\f'(1) = {2^{2017}} + {2017.2^{2016}} \\= C_{2017}^0 + 2C_{2017}^1 + 3C_{2017}^2 + 4C_{2017}^3 + .... + 2018C_{2017}^{2017}\\ \Rightarrow {2019.2^{2016}} = {2^{2016}}\left( {2n + 1} \right)\\ \Rightarrow n = 1009\end{array}\)