Đề số 3 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 11

Đề bài

Câu 1.\(\lim \left( {2n + 3} \right)\) bằng

A.\( + \infty .\)                             B.\(3.\)

C.\(5.\)                                D. \( - \infty .\)

Câu 2. Biết \(\lim \dfrac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \dfrac{a}{b}\) ( a,b là hai số tự nhiên và\(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a + b\)bằng

A.\(3.\)                                B.\(\dfrac{1}{3}.\)

C.\(0.\)                                D. \(4.\)

Câu 3.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} - 2x - 3)\) bằng

A.\( - 5.\)                             B.\(0.\)

C.\(4.\)                                D. \( - 4.\)

Câu 4. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{1 - 2x}} =  - \dfrac{a}{b}\) ( a,b là hai số tự nhiên và\(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a - b\)bằng

A.\(3.\)                                B.\( - 1.\)

C.\( - 3.\)                              D. \(1.\)

Câu 5:\(\lim \dfrac{{2n + 3}}{{{n^2} + 2n + 4}}\) bằng

A.\(2.\)                                B.\(1.\)

C.\(0.\)                                 D. \( + \infty .\)

Câu 6.Biết rằng phương trình \({x^5} + {x^3} + 3x - 1 = 0\)có duy nhất 1 nghiệm \({x_0},\)mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.\({x_0} \in \left( {0;1} \right).\)                 

B. \({x_0} \in \left( { - 1;0} \right).\)

C. \({x_0} \in \left( {1;2} \right).\)                 

D. \({x_0} \in \left( { - 2; - 1} \right).\)

Câu 7.Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 2.\)Giá trị của \(y'\left( 1 \right)\)bằng

A.\(7.\)                                B.\(4.\)

C.\(2.\)                                 D. \(0.\)

Câu 8.Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\)bằng

A.\(y' = \cos 2x.\)

B. \(y' = 2\cos 2x.\)

C. \(y' =  - 2\cos 2x.\)

D. \(y' =  - \cos 2x.\)

Câu 9.Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)bằng

A.\(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

B. \(y' = 1.\) 

C. \(y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

D. \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}.\)

Câu 10.Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \)bằng

A. \(y' = \sqrt {2x} .\)

B. \(y' = \dfrac{x}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

C. \(y' = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

D. \(y' = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

Câu 11.Biết \(AB\)cắt mặt phẳng\(\left( \alpha  \right)\)tại điểm\(I\)thỏa mãn\(IA = 3IB,\)mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.\(4d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = 3d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right).\)

B. \(3d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right).\)

C. \(3d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = 4d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right).\)

D. \(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = 3d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right).\)

Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳngkhi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \({90^{\rm{o}}}.\)

B. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \({90^{\rm{o}}}.\)

D. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.

B. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm):

Câu 1(1 điểm). Tính các giới hạn sau:

a.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} \right);\)

b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{x - 3}}.\)

Câu 2 (1 điểm). Tính đạo hàm cấp 1 của mỗi hàm số sau:

a.\(y = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right);\)

b. \(y = {\cot ^2}\dfrac{2}{x} + \tan \dfrac{{x + 1}}{2}.\)

Câu 3 (1 điểm).Tìm giá trị của tham số a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 4x - 5}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)liên tục tại\({x_0} = 1.\)

Câu 4 (1 điểm). Cho hàm số\(f\left( x \right) = \cos 2x.\)Gọi \(\left( C \right)\)là đồ thị của hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = \dfrac{\pi }{6}.\)

Câu 5 (3 điểm). Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SD\) với mặt đáy bằng \({45^{\rm{o}}}.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(SA,SC,SD\) sao cho \(SM = MA,\) \(SN = 2NC\) và \(SP = 2PD.\)

a. Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot BD;\)\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).\)

b. Chứng minh rằng \(AP \bot NP.\)

c. Tính côsin của góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {BNP} \right).\)

Lời giải chi tiết

A. Phần trắc nghiệm:

B. Phần tự luận:

Câu 1:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} \right) = \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - \infty \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{x - 3}} = \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{(\sqrt {x + 1}  - 2)(\sqrt {x + 1}  + 2)}}{{(x - 3)(\sqrt {x + 1}  + 2)}} = \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} = \dfrac{1}{4}\)

Câu 2:

a) \(y = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\)

\(y' = {\left( {x + 2\sqrt x } \right)^\prime }\left( {{x^2} + 4} \right) \)\(\,+ \left( {x + 2\sqrt x } \right){\left( {{x^2} + 4} \right)^\prime }\)

\( = \left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\)\(\, + 2x\left( {x + 2\sqrt x } \right)\)\( = 3{x^2} + 5x\sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 4.\)

b) \(y = {\cot ^2}\dfrac{2}{x} + \tan \dfrac{{x + 1}}{2}\)

\(y' = 2.\cot \dfrac{2}{x}{\left( {\cot \dfrac{2}{x}} \right)^\prime } + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\)

\( = 2.\cot \dfrac{2}{x}\dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}\dfrac{2}{x}}} + \dfrac{1}{{2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\)

\( = 4\cot \dfrac{2}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}{{\sin }^2}\dfrac{2}{x}}} + \dfrac{1}{{2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\)

Câu 3:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 4x - 5}}{{x - 1}}\,\,\, & khi\,\,x \ne 1\\2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 4x - 5}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(x - 1)(x + 5)}}{{x - 1}} = \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 5} \right) = 6\)

\(f(1) = 2 + a\)

Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \)\(2 + a = 6 \Leftrightarrow a = 4.\)

Câu 4:

Ta có \(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k} \right)}} = {2^{4k}}c{\rm{os}}2x\\{f^{\left( {4k + 1} \right)}} =  - {2^{4k + 1}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}} =  - {2^{4k + 2}}c{\rm{os}}2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}} = {2^{4k + 3}}\sin 2x\end{array}\).               

 Do đó (C) là đồ thị hàm số        \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{50}}c{\rm{os}}2x\)

Ta có: \(y' = {f^{\left( {51} \right)}}\left( x \right) = {2^{51}}\sin 2x.\)

Tiếp tuyến tại điểm \(x = \dfrac{\pi }{6}\) có phương trình:

\(y = y'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) + y\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow y = {2^{51}}\sin \dfrac{\pi }{3}\left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow y = {2^{51}}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}.\dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow y = {2^{50}}\sqrt 3 \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) - {2^{49}}\)

\( \Leftrightarrow y = {2^{50}}.\sqrt 3 x - \dfrac{{{2^{50}}\sqrt 3 \pi }}{6} - {2^{49}}\)

Câu 5:

a)

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BD \bot (SAC)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right).\)

b)

\(\dfrac{{SN}}{{NC}} = \dfrac{{SP}}{{PD}} = 2\)\( \Rightarrow NP//CD\left( 1 \right)\)

\(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AP\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AP \bot NP.\)

c) Chỉ ra được mp\(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với giao tuyến của 2 mp \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {BNP} \right)\)

Tính được côsin bằng \(\dfrac{3}{5}.\)