Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 11

Đề bài

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1.  Giải phương trình: \(\cos 2x + 2\cos x - 3 = 0\)

A. \(x = \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

B. \(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

C. \(x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

D. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Câu 2.  Số nghiệm của phương trình \(\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \)  thuộc đoạn \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\) là:

A. 1                                       B.2

C.3                                        D. 4

Câu 3.  Có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ 12 học sinh đó ra 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ?

A. 112 cách                           B.220 cách

C.48 cách                              D. 224 cách

Câu 4.  Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} =  - \dfrac{1}{2},{u_2} = 1\) . Tính \({u_{10}}\)

A. \({u_{10}} =  - 256\)                      

B. \({u_{10}} = 256\)

C. \({u_{10}} = 512\)                         

D. \({u_{10}} =  - 512\)

Câu 5.  Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3x\)  tại tiếp điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\) có hệ số góc \(k\)  là:

A. \(k = 4\)                            B. \(k = 3\)

C. \(k = 0\)                             D. \(k = 6\)

Câu 6.  Cho tứ diện ABCD. Khi đó hai đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng

A. cắt nhau                           B.song song

C.chéo nhau                          D. trùng nhau

Câu 7.  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và SD. Cắt hình chóp bởi mặt phẳng (CMN). Khi đó thiết diện nhân được là:

A. một tam giác

B.một tứ giác           

C.một ngũ giác

D. một lục giác

Câu 8.  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. Tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S và năm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Biết I là một điểm nằm trong không gian cách đều các điểm A, B, C, D và S. Tính độ dài đoạn thẳng IS

A. \(IS = a\)                           B. \(IS = a\sqrt 2 \)

C. \(IS = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)                      D. \(IS = \dfrac{a}{2}\)

Phần II. Tự luận (8 điểm)

Câu 1 (2 điểm). Tính các giới hạn sau:

1.1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{2{x^3} + x + 1}}\)

1.2 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 3}  - 3x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\)

Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3{x^3} - x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\m - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1\end{array} \right.\) . Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\)  để hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\)

Câu 3 (2 điểm).

3.1. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x \)\(\,+ 12\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\) . Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) + 4 = 0\)

3.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3x + 2\) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(\Delta :x + 6y + 6 = 0\)

Câu 4 (3 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có canh bằng  \(a\sqrt 2 ;\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right);\,\,SA = 2a\) . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB.

4.1 Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)

4.2. Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(\left( {AEC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

4.3. Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và ACD. Tính góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng (SAB).

Lời giải chi tiết

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Phần II. Tự luận (8 điểm)

Câu 1:

1.1) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{2{x^3} + x + 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{{x^3}}}}}{{\dfrac{{2{x^3} + x + 1}}{{{x^3}}}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)}}{{2 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}}} = \dfrac{1}{2}.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{2{x^3} + x + 1}} = \dfrac{1}{2}\)

1.2)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 3}  - 3x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{{x^2} + x - 2}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} + x - 2}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\mathop { = \lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt {x + 3}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right)\\\end{array}\)

\(\mathop { = \lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} - \dfrac{3}{{x + 2}}} \right) \)

\(=  - \dfrac{{11}}{{12}}\)

Câu 2:TXĐ: \(\mathbb{R}\) . Ta có \(f\left( 1 \right) = m - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3{x^3} - x - 2}}{{x - 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 3x + 2} \right)}}{{x - 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} + 3x + 2} \right) = 8\)

Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 10\)

Vậy \(m = 10\)

Câu 3:

3.1)TXĐ: \(\mathbb{R}\) . Ta có \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\sqrt 3 \sin 2x + 12\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x - 2\sqrt 3 \sin 2x + 12\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + 3\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + 3\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + 1 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + 3\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0\) (vì \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\))

\( \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{6} =  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

3.2) TXĐ: \(\mathbb{R}\) . Ta có \(y' = 3{x^3} + 3\)

Đường thẳng \(\Delta :y =  - \dfrac{1}{6}x - 1\) có hệ số góc \(k =  - \dfrac{1}{6}\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, ta có hệ số góc \({k_1}\)  của tiếp tuyến tại tiếp điểm \(M\)  là \({k_1} = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 + 3\) . Vì tiếp tuyến tại điểm M vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)  do đó \(k.{k_1} =  - 1\)

\(\Leftrightarrow \left( {3x_0^2 + 3} \right)\left( { - \dfrac{1}{6}} \right) =  - 1\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\)

Với \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 6 \Rightarrow M\left( {1;6} \right)\). Phương trình tiếp tuyến: \(y = 6x\)

Với \({x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - 2 \Rightarrow M\left( { - 1; - 2} \right)\). Phương trình tiếp tuyến: \(y = 6x + 4\)

Câu 4:

4.1) Vì  ABCD  là hình vuông \( \Rightarrow BD \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\BD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BD\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\\AC \cap SA = A\\AC,\,\,SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

4.2)Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\BC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BC\)

ABCD là hình vuông \( \Rightarrow BC \bot AB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\\AB \cap SA = A\\AB,\,\,SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Mà \(AE \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\\SB \cap BC = B\\SB,\,\,BC \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)\)

Mà \(AE \subset \left( {AEC} \right) \Rightarrow \left( {AEC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

4.3)Gọi I là trung điểm của AD. Vì G là trọng tâm của tam giác SAD do đó \(G \in SI\)  và \(\dfrac{{IG}}{{IS}} = \dfrac{1}{3}\)

Vì K là trọng tâm của tam giác ACD do đó \(K \in CI\)  và \(\dfrac{{IK}}{{IC}} = \dfrac{1}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{{IG}}{{IS}} = \dfrac{{IK}}{{IC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GK//SC\)

Vì  \(GK//SC \Rightarrow \) góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và p (SAB)

Ta có: \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng \(\widehat {BSC}\)

Ta có: \(AC = 2a\)

Tam giác SAC là tam giác vuông tại A \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = 2a\sqrt 2 \)

Tam giác SAB là tam giác vuông tại A \( \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 6 \)

Tam giác SBC là tam giác vuông tại B \(\cos \widehat {BSC} = \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {BSC} = {30^0}\)

Vậy góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng (SAB) bằng \({30^0}\)