Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

Đề bài

Câu 1: (VD) (2 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}  = x - 1\).

b) \(\left| {{x^2} - x} \right| > 2 - x\).

Câu 2: (VD) (2 điểm)  a)  Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 4 - 7m = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + \,x_2^2 = 10\).

b)  Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in R\).  

Câu 3: (VD) (2 điểm)   a)  Cho \(\sin a =  - \frac{4}{5}\), với \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\) . Tính \(\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).\)

b)  Chứng minh đẳng thức : \(2\cot 2x\cot x + 1 = {\cot ^2}x\).

Câu 4: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và vuông góc với đường thẳng\(\,d:3x - 4y - 7 = 0\)

Câu 5: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng  \(d:x + 2y - 1 = 0\).

Viết phương trình đường tròn tâm \(B\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\).

Câu 6: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) viết phương trình chính tắc của elíp \((E),\) biết \((E)\) có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng \(\frac{3}{4}.\)

Câu 7: (VDC) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \((\Delta ):2x + y - 1 = 0\), \((d):3x + 7y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\)và cắt \((\Delta )\),\((d)\) lần lượt tại hai điểm B, C sao cho \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

a) \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

b)  \(\left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) > g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Cách giải:

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}  = x - 1\)

ĐKXĐ: \(3{x^2} - 5x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{5 + \sqrt {37} }}{6}\\x \le \frac{{5 - \sqrt {37} }}{6}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3{x^2} - 5x - 1 = {(x - 1)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\3{x^2} - 5x - 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 2 \right\}.\)  

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\left| {{x^2} - x} \right| > 2 - x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\{\left( {{x^2} - x} \right)^2} > {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^4} - 2{x^3} + {x^2} > 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^4} - 2{x^3} + 4x - 4 > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 2 > 0\,\left( {do\,\,\,{x^2} - 2x + 2 > 0} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\sqrt 2  < x \le 2\\x <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x <  - \sqrt 2 \end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\)

Câu 2:

Phương pháp:

a) Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\). Sử dụng định lý Vi-ét, biến đổi biểu thức đề bài theo m để giải tìm m.

b) Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Cách giải:

a)  Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 4 - 7m = 0\)   (\(m\)là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)  thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10.\)

\({x^2} - 2(m - 2)x + 4 - 7m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 + 7m > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 4 + 7m > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 3\end{array} \right..\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 4 - 7m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + \,x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 2)^2} - 2(4 - 7m) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

b)  \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in R\).  

Để bất phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 5} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - {m^2} - m + 6 < 0\,\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\,.\end{array}\)

Vậy  \(m > 2\) thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\cos x\), từ đó tính các giá trị còn lại

b) 

\(\begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}\)

Cách giải:

a)  Cho \(\sin a =  - \frac{4}{5}\), với \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\) . Tính \(\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).\)

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\\ \Rightarrow \cos a =  - \frac{3}{5}\,\,\,\left( {do\,\,\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}} \right)\\ \Rightarrow \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\\ = 1 - 2.\frac{{16}}{{25}} =  - \frac{7}{{25}}\\ \Rightarrow \sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6}\\ =  - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 - 4\sqrt 3 }}{{10}}.\\ \Rightarrow \tan ( - a) =  - \tan a =  - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\\ =  - \frac{4}{5}.\frac{5}{3} =  - \frac{4}{3}.\end{array}\)

b)  Chứng minh đẳng thức : \(2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.\)

\(\begin{array}{l}VT = 2.\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} + 1\\ = \frac{{2.\cos 2x}}{{2{{\sin }^2}x.\cos x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x = VP.\end{array}\)

Vậy \(2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.\)

Câu 4:

Phương pháp:

Xác định VTPT (VTCP) và một điểm đi qua của đường thẳng \(\Delta \) để viết phương trình.

Cách giải:

Viết pt đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(1; - 3)\) và vuông góc với \(\,d:3x - 4y - 7 = 0\).

Đường thẳng \(d\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 4} \right).\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

Ta có:\(\Delta  \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4;\,3} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) và có \(VTPT\,\,\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)\) là: \(4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x + 3y + 5 = 0\)

Câu 5:

Phương pháp:

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,b} \right)\) và có bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\) 

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng  \(d:x + 2y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn tâm \(B\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\).

Đường tròn đường tròn cần tìm có bán kính \(R = d(B;d) = \frac{{\left| {3 + 8 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)\( = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \)

Phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 20.\)

Câu 6:

Phương pháp:

Tiêu cự của elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là \(c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Trục lớn = 2a ; trục bé = 2b ; tâm sai \(e = \frac{c}{a}.\)

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) viết phương trình chính tắc của elíp \((E),\) biết \((E)\) có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng \(\frac{3}{4}.\)

Ta có \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn là \(8 \Rightarrow 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4.\)

Tâm sai của \(\left( E \right)\) là \(\frac{3}{4} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow c = 3.\)

\( \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {4^2} - {3^2} = 7\)\( \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1.\)

Vậy phương trình \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1.\)

Câu 7:

Phương pháp:

Tìm tọa độ điểm A là giao điểm của \((\Delta )\)và \((d)\)

Tìm  N  là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

Tìm điểm B là giao của BN và \(\Delta \)

Viết phương trình đường thẳng BM là đường thẳng cần tìm

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \((\Delta ):2x + y - 1 = 0\), \((d):3x + 7y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\)và cắt \((\Delta )\),\((d)\) lần lượt tại hai điểm B, C sao cho \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Gọi A là giao điểm của \((\Delta )\)và \((d)\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm A  là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{{11}}\\y =  - \frac{5}{{11}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {\frac{8}{{11}}; - \frac{5}{{11}}} \right)\)

Gọi \(N\left( {a;\,\,b} \right)\)   là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MN} \\ \Leftrightarrow \left( {a - 1;\,b - 1} \right) = \left( {1 - \frac{8}{{11}};\,1 + \frac{5}{{11}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 1 - \frac{8}{{11}}\\b - 1 = 1 + \frac{5}{{11}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{14}}{{11}}\\b = \frac{{27}}{{11}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow N\left( {\frac{{14}}{{11}};\frac{{27}}{{11}}} \right)\end{array}\)

Đường thẳng \(\left( {BN} \right)\) là đường thẳng đi qua N và song song với \((d)\)

\( \Rightarrow \left( {BN} \right):3\left( {x - \frac{{14}}{{11}}} \right) + 7\left( {y - \frac{{27}}{{11}}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 7y - 21 = 0\)

B là giao điểm của \((\Delta )\)và \((BN) \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{14}}{{11}}\\y = \frac{{39}}{{11}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B\left( { - \frac{{14}}{{11}};\frac{{39}}{{11}}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\left( {BM} \right)\) cần tìm là: \(\frac{{x - 1}}{{ - \frac{{14}}{{11}} - 1}} = \frac{{y - 1}}{{\frac{{39}}{{11}} - 1}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{28}}{{11}}\left( {x - 1} \right) =  - \frac{{25}}{{11}}\left( {y - 1} \right)\)  \( \Leftrightarrow 28x + 25y - 53 = 0\)

Nguồn: Sưu tầm