Đề kiểm tra 45 phút - Đề số 4- Chương 1 - Hình học 9

Đề bài

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có \(AB = AC = 1\;cm\) và góc \(A = 2α (0 < α < 45^o)\), các đường cao AD và BE.

a. Chứng minh rằng : ∆ADC và ∆BEC đồng dạng

b. Chứng minh : \(\sin A = 2\sinα.\cosα\)

Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A và \(AC = 21cm\), \(\cos \widehat C = {3 \over 5}\)

a. Tính \(\tan B, \cot B\).

b. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính \(DB, DC\)

Lời giải chi tiết

Bài 1.

a. Dễ thấy ∆ADC đồng dạng ∆BEC (g.g)

b. ∆ABC cân tại A nên đường cao AD đồng thời là đường phân giác \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat A} \over 2} = \alpha \)

Xét tam giác vuông ADB có:

\(BD = AB.\sin \widehat {BAD} = 1.\sin \alpha  = \sin \alpha \)

Mặt khác ∆ABC cân nên đường cao AD cũng đồng thời là đường trung tuyến hay BC = 2BD = 2sinα

Xét tam giác vuông CEB có \(\widehat {CBE} = \widehat {CAD} = \alpha \) (cùng phụ với góc C)

Ta có: \(BE = BC.\cos \widehat {CBE} = BC.\cos \alpha  \)\(\;= 2\sin \alpha .\cos \alpha \) (1)

Xét tam giác vuông AEB, ta có: \(\sin A = {{BE} \over {AB}} = {{BE} \over 1} = BE\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ sinA = 2sinα.cosα

Bài 2.

a. Ta có:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1  \cr  &  \Rightarrow \sin C = \sqrt {1 - {{\cos }^2}C} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {1 - {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^2}}  = {4 \over 5} \cr} \)

Do đó:

\(\eqalign{  & \cos B = {4 \over 5}  \cr  & \cos C = {3 \over 5} \cr} \)

\( \Rightarrow \sin B = {3 \over 5}\) (vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau)

Vậy \(\tan B = {{\sin B} \over {\cos B}} = {3 \over 5}:{4 \over 5} = {3 \over 4} \)\(\Rightarrow \cot B = {4 \over 3}\)

Cách khác tính tanB (gần gũi hơn) :

\(\eqalign{  & \cos C = {{AC} \over {BC}}\,hay\,{3 \over 5} = {{21} \over {BC}}\cr& \Rightarrow BC = {{21.5} \over 3} = 35  \cr  &  \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{{35}^2} - {{21}^2}}  = 28 \cr} \)

Do đó: \(\tan B = {{AC} \over {AB}} = {{21} \over {28}} = {3 \over 4}\)

b. Ta có: ∆ABC vuông tại A:

\( AB = AC.\tan C = AC.cotB \)\(\;= 21.{4 \over 3} = 28\,\left( {cm} \right)  \)

và \(\,BC = {{AC} \over {\cos C}} = {{21} \over {{3 \over 5}}} = 35\,\left( {cm} \right) \)

AD là phân giác của ∆ABC ta có:

\({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}} = {{28} \over {21}} = {4 \over 3} \)

\(\Rightarrow {{DB} \over 4} = {{DC} \over 3} = {{DB + DC} \over {4 + 3}} \)\(\;= {{BC} \over 7} = {{35} \over 7} = 5\)

Vậy \(DB = 5.4 = 20 (cm)\); \(DC = 5.3 = 15 (cm)\).