Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương I - Giải Tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 6x + 5} \). Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((5; + \infty )\)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((3; + \infty )\)

C. hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;3)\)

Câu 2. Cho hàm số \(y = {x^4} + 4{x^2}\) có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.

A. 0                          B. 3    

C. 1                          D. 2.

Câu 3. Đồ thị sau đây là của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\). Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt ?

A. m = -3                      B. m = - 4     

C. m = 0                       D. m = 4 .

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

Hàm số đồng  biến trên khoảng nào ?

A. \(( - 2; + \infty )\)                B. \(( - 2;3)\)

C. \((3; + \infty )\)                   D. \(( - \infty ; - 2)\).

Câu 5. Biết đường thẳng \(y =  - {9 \over 4}x - {1 \over {24}}\) cắt đồ thị hàm số \(y = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x\) tại một điểm duy nhất, ký hiệu (x₀ ; y₀) là tọa độ điểm đó. Tìm y₀.

A. \({y_0} = {{13} \over {12}}\)  

B. \({y_0} = {{12} \over {13}}\)

C. \({y_0} =  - {1 \over 2}\)

D. \({y_0} =  - 2\)

Câu 6. Cho hàm số y = f(x) xác định , liên tục trên R và có bảng biến thiên như dưới đây.

 

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = - 2018 tại bao nhiêu điểm ?

A. 2                              B. 4   

C. 1                              D. 0    

Câu 7. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân  biệt ?

A. 31                              B. 32    

C. 21                              D. 3

Câu 8. Trên đồ thị hàm số \(y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 1                                B. 2        

C. 0                                D. 4

Câu 9. Cho hàm số y = f(x) xác định trên  R\{1} và có bảng biến thiên như sau:

 

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1.

B. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số và trục hoành có 4 điểm chung.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 1; + \infty )\).

Câu 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

 

Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. y_CT = 0.                  B. \(\mathop {\max }\limits_R y = 5\)     

C. y_CĐ  = 5                  D. \(\mathop {\min \,y}\limits_k  = 4\)

Câu 11. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\) là:

A. \(x = {1 \over 2},\,\,y =  - 1\)             

B.  x = 1, y = -2                

C. x = - 1 , y = 2         

D. \(x =  - 1,\,\,\,y = {1 \over 2}\)

Câu 12. Số giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} - 3x - 1,\,\,y = {x^3} - 1\) là

A. 1                               B. 0      

C. 2                               D. 3

Câu 13. Cho hàm số y = f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - 2,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng x = - 2 và x= 2.

D. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = - 2 và y = 2.

Câu 14. Đồ thị sau là của hàm số nào ?

 

A. \(y =  - {x^3} + 3x + 1\)         

B. \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\)       

C. \(y = {x^3} - 3x + 1\)       

D. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)

Câu 15. Giá trị lớn nhất củ hàm số \(f(x) = {x^3} - 2{x^2} + x - 2\) trên đoạn [0 ; 2] bằng:

A. \( - {{50} \over {27}}\)                        B. \( - 2\)   

C. 1                              D. 0

Câu 16. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\). Tìm khẳng định đúng.

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.

B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M(1 ; -1 ).

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1),\,(1; + \infty )\).

D. Hàm số không có cực trị.

Câu 17. Đường thẳng y = 4x – 1  và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) có bao nhiêu điểm chung ?

A. 1                             B. 3     

C. 0                             D. 2

Câu 18. Hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0                             B. 2    

C. 1                             D. 3

Câu 19. Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\). Chọn khảng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

B. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

C. Hàm số luôn đồng biến trên R.

D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Câu 20. Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số \(y =  - {{2x - 1} \over {x + 1}}\)  là:

A.I(1 ; - 2)                      B. I( - 1; - 2)       

C. I(1 ;2 )                       D. I(- 1 ; 2).

Câu 21. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

A. \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\)      

B. \(y = {x^4} - 3{x^2} + 5\)       

C. \(y =  - {x^3} + {x^2} - 2x - 1\)   

D. \(y =  - {x^3} - 3{x^2} + 4\)

Câu 22. Đồ thị các hàm số \(y = {{4x + 4} \over {x - 1}}\) và \(y = {x^2} - 1\) cắt nhau tại bao nhiêu điểm ?

A. 0                                B. 1

C. 2                                D. 3

Câu 23. Cho hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + (m + 1)x + 5\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên R.

A. m > 3                         B. m < 3

C. \(m \ge 3\)                       D. m < - 3 .

Câu 24. Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm \(f'(x) = 2{x^2}\) trên R. Chọn kết luận đúng :

A. Hàm số đồng biến trên R                

B. Hàm số không xác định tại x = 0

C. Hàm số nghịch biến trên R

D. Hàm số đồng biến trên \((0; + \infty )\) và nghịch biến trên \(( - \infty ;0)\)

Câu 25. Chọn khẳng định sai:

A. Đồ thị hàm số lẻ nhận điểm (0 ; 0) làm tâm đối xứng.

B. Tâm đối xứng của dồ thị hàm số luôn thuộc đồ thị hàm số đó.

C. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể không nằm trên đồ thị hàm số đó.

D. Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

Câu	1	2	3	4	5
Đáp án	A	C	C	B	A
Câu	6	7	8	9	10
Đáp án	A	A	D	C	A
Câu	11	12	13	14	15
Đáp án	C	A	D	C	D
Câu	16	17	18	19	20
Đáp án	C	B	A	D	B
Câu	21	22	23	24	25
Đáp án	C	C	C	A	B

Câu 1: A

\(y = \sqrt {{x^2} - 6x + 5} \)

TX Đ: \(D = ( - \infty ,1] \cup {\rm{[}}5, + \infty )\)

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 5} }}\\y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 5} }} = 0 \Leftrightarrow x = 3\\\end{array}\)

\(y'\) không xác định tại \(x=1\) và \(x=5\)

 

Vậy hàm số đồng biến trên  \(\left( {5, + \infty } \right)\).

Câu 2: C

\(\begin{array}{l}
{x^4} + 4{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm chung với trục hoành.

Câu 3: C

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\({x^4} - 3{x^2} + m \)    

\({x^4} - 3{x^2} + m = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} =  - m\)

\(\Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 3 =  - m - 3\)

Số nghiệm của pt \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) chính là số giao điểm của đths \({x^4} - 3{x^2} - 3 = 0\) và đường thẳng \(y= -m - 3\)

Từ  đồ thị hàm số \( \Rightarrow - m – 3 = 0 \Leftrightarrow m=0\)

Câu 4: B

Hàm số đồng  biến trên khoảng (-2;3)

Câu 5: A

Xét pt hoành độ gio điểm tại (x₀, y₀) ta có :

\(\begin{array}{l} - \dfrac{9}{4}{x_0} - \dfrac{1}{{24}} = \dfrac{{{x_0}^3}}{3} + \dfrac{{{x_0}^2}}{2} - 2{x_0}\\ \Leftrightarrow 8{x_0}^3 + 12{x_0}^2 + 6{x_0} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 1} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{13}}{{12}}\end{array}\)

Câu 6: A

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = - 2018 tại hai điểm phân biệt.

Câu 7: A

\({x^3} - 6{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} =  - m\)

Số nghiệm của phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) chính là số giao điểm của đường thẳng y= -m và đths \(y = {x^3} - 6{x^2}\)

Xét \(y = {x^3} - 6{x^2}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Từ  BBT, pt \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)  đường thẳng y= -m cắt đths \(y = {x^3} - 6{x^2}\) tại 3 điểm \( \Leftrightarrow \) \(\begin{array}{l} - 32 <  - m < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 32\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \) có 31 giá trị của m

Câu 8: D

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\\
x \in Z,y \in Z \Rightarrow x + 1 \in U\left( 3 \right)\\
\Rightarrow x + 1 \in \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\\
\Rightarrow x \in \left\{ { - 2;0; - 4;2} \right\}
\end{array}\)

Vậy có 4 điểm có tọa độ nguyên.

Câu 9: C

Hàm số không có GTNN nên A sai.

Đồ thị hàm số không có TCĐ nên B sai.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên C đúng.

 Hàm số không đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) nên D sai.

Câu 10: A

Từ bbt suy ra y_CT = 0.

Câu 11: C

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2\)\(\) TCN : y=2

\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} =  + \infty \end{array} \right\} \)\(\Rightarrow \) TCĐ : \(x= -1\)

Câu  12: A

Xét pt hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x - 1 = {x^3} - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 3x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y =  - 1\end{array}\)

Câu 13: D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - 2,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 2\) nên các đường thẳng \(y =  - 2,y = 2\) là các đường tCN của ĐTHS.

Câu 14: C

Quan sát đồ thị ta thấy đây là dáng đồ thị hàm bậc ba nên loại B.

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty  \Rightarrow a > 0\) nên loại A.

Điểm (-1;3) thuộc đồ thị nên chọn C.

Câu 15: D

\(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 2\)

Với \(x \in \left[ {0,2} \right]:\)

\(\begin{array}{l}f'(x) = 3{x^2} - 4x + 1\\f'(x) = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Có:

\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow {y{(0)}} =  - 2\\x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {y{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}} = \dfrac{{ - 50}}{{27}}\\x = 1 \Rightarrow {y{(1)}} =  - 2\\x = 2 \Rightarrow {y{(2)}} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,2} \right]} f(x) = 0\end{array}\)

Câu 16: C

\(y = {x^3} - 3x + 1\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 3\\y' = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy, hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty , - 1} \right)\) và \(\left( {1, + \infty } \right)\)

Câu 17: B

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}4x - 1 = {x^3} - 3{x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Số giao điểm của đường thẳng y = 4x -1 và đths \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) là số nghiệm của \(4x - 1 = {x^3} - 3{x^2} - 1\)

Mặt khác, pt \(4x - 1 = {x^3} - 3{x^2} - 1\) có 3 nghiệm phân biệt nên đường thẳng và đồ thị hàm số có 3 điểm chung

Câu 18: A

Ta có:

\(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số không có điểm cực trị.

Câu 19: D

\(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 6x\\y' = 0 \Rightarrow 4{x^3} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\\x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

 

Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại

Câu 20: B

\(y =  - \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right) =  - 2 \)\(\,\Rightarrow TCN: y=-2\)

\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \left( { - \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^{^ - }}} \left( { - \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right) =  - \infty \end{array} \right\}\)\(\, \Rightarrow TCĐ: x= -1\).

Vậy điểm đối xứng của đồ thị hàm số  \(y =  - \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là I( -1, -2)

Câu 21: C

Đáp án A: \(y =  - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án B: \(y = 4{x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)

Đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án C: \(y =  - 3{x^2} + 2x - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 22: C

Xét pt hoành độ giao điểm ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{4x + 4}}{{x - 1}} = {x^2} - 1\left( {DK:x \ne 1} \right)\\
\Leftrightarrow 4x + 4 = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1 - 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
{x^2} - 2x - 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Số giao điểm của 2 đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{4x + 4}}{{x - 1}}\) và \(y = {x^2} - 1{\rm{ }}\) là nghiệm của pt \(\dfrac{{4x + 4}}{{x - 1}} = {x^2} - 1{\rm{ }}\)

\( \Rightarrow \) 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm

Câu 23: C

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 5\)

TXĐ:  \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} + 4x + (m + 1)\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \ge 0;\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\\ \Leftrightarrow 4 - (m + 1) \le 0\\ \Leftrightarrow m + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow m \ge 3\end{array}\)

Câu 24: A

Ta thấy, \(f'\left( x \right) = 2{x^2} \ge 0,\forall x\) và \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 25: B

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể không nằm trên đồ thị hàm số.

Chẳng hạn đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao của hai đường tiệm cận.

Do đó B sai.