Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương I - Giải Tích 12

Đề bài

Câu 1. Hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4\) có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm các giá trị của m đề phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có hai nghiệm

A. m = 0; m = 4.

B. m = - 4; m= 4.

C. m= - 4; m = 0

D. 0 < m < 4.

Câu 2. Điểm cực đại của hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 2\)

A. x = 0                         B. x = 2     

C. (0 ; 2)                       D. (2 ; 6)

Câu 3. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 5\) và trục hoành.

A. 4                              B. 3    

C. 1                              D. 2

Câu 4. Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị (C). Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại điểm M(- 1 ; 2) bằng:

A. 3                              B. – 5

C. 25                            D. 1

Câu 5. Điều kiện của tham số m đề hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^3}}}{ 3} + {x^2} + mx\) nghịch biến trên R là

A. m < - 1                   B. \(m \ge  - 1\)

C. \(m >  - 1\)               D. \(m \le  - 1\)

Câu 6. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3} }{{x - 1}}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

A. x= 2 và y = 1          B. x = 1  và y= - 3

C. x= - 1  và y= 2        D. x = 1  và y= 2.

Câu 7. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1; + \infty )\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1 ;1).

Câu 8. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên R ?

A. \(y = {x^4} + {x^2} + 1\)

B. \(y = {x^3} + 1\)

C. \(y =\dfrac {{4x + 1} }{ {x + 2}}\)

D. \(y = \tan x\).

Câu 9. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như dưới đây.

Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Câu 10. Cho hàm số  y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) + m= 0 có ba nghiệm phân biệt là:

A. (-2; 1)                    B. [-1 ; 2)

C. (-1 ; 2)                   D. (- 2 ;1]

Câu 11. Gọi M, N là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và đường thẳng d: y = x + 2. Hoành độ trung điểm I của đoạn MN là

A. \( - \dfrac{5 }{2}\)

B. \( -\dfrac {1 }{ 2}\)

C. 1

D. \(\dfrac{1 }{ 2}\).

Câu 12. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ?

A. \(y = \dfrac{{2x - 1}}{ {x + 3}}\)                

B. \(y =\dfrac {{1 - x} }{ {1 + x}}\)                  

C. \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 2\)      

D. \(y =  - {x^3} + 3x - 2\).

Câu 13. Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\). Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Đồ thị hàm số luôn có điểm đối xứng.

B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành

C. Hàm số luôn có cực trị.

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty \).

Câu 14. Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1} }{ {x + 2}}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình là:

A. y = 3x                     B. y = x – 3   

C. y = 3x – 3               D \(y = \dfrac{1 }{ 3}(x - 1)\).

Câu 15. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực tiểu tại x = 2.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng – 2 .

D. Hàm  số có ba điểm cực trị.

Câu 16. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\).

A. 2y – 1= 0              B. 2x – 1 = 0     

C. x – 2 = 0               D. y – 2 = 0.

Câu 17. Cho hàm số \(y = \dfrac{1 }{ 4}{x^4} - 2{x^2} + 3\). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - 2;0),\,(2; + \infty )\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2),\,(0;2)\).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2),\,\,(2; + \infty )\).        

Câu 18. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?

A. \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{2x - 2}}\)

B. \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\)

C. \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

D. \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Câu 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{ {x - 3}}\) trên đoạn [0 ; 2].

A. \( -\dfrac {1 }{ 3}\)                              B. – 5   

C. 5                                  D. \(\dfrac{1 }{3}\)

Câu 20. Hàm số \(y =\dfrac {1 }{ 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1\) nghịch biến trên khoảng nào trong những khoảng sau đây ?

A. (1 ; 4)                         B. (1 ; 3)

C. (-3 ; -1)                      D. (- 1 ; 3)

Câu 21. Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên (a ; b). Nếu \(f'(x) < 0,\forall x \in (a;b)\) thì:

A. Hàm số đồng biến trên (a ; b)               B. Hàm số nghịch biến trên (a ; b)

C. Hàm số không đổi trên (a ; b)               C. Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên (a ; b)

Câu 22. Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a ; b). Nếu \(\left\{ \matrix{f'({x_0}) = 0 \hfill \cr f''({x_0}) < 0 \hfill \cr}  \right.\) thì

A. x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

B. x₀ là điểm cực đại của hàm số.

C. x₀ là điểm nằm bên trái trục tung

D. x₀ là điểm nằm bên phải trục tung.

Câu 23. Chọn phát biểu đúng:

A. Hàm số bậc ba nếu có cực đại thì không có cực tiểu.

B. Hàm số bậc ba nếu có cực tiểu thì không có cực đại.

C. Hàm số bậc ba nếu có cực đại thì có cả cực tiểu.

D. Hàm số bậc ba luôn có cả cực đại và cực tiểu.

Câu 24. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } y =  + \infty \) thì đường thẳng x = x₀ là:

A. Tiệm cận ngang.        B. Tiệm cận đứng 

C. Tiệm cận xiên            D. Trục  đối xứng

Câu 25. Đồ thị hàm số bậc ba có mấy tâm đối xứng ?

A. 1                               B. 0       

C. 2                               D. B và C đều đúng

Lời giải chi tiết

1A	2B	3D	4D	5D
6D	7D	8B	9C	10A
11D	12A	13C	14D	15B
16D	17B	18D	19D	20A
21B	22B	23C	24B	25A

Câu 1: A

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow  - {x^3} + 3{x^2} = m\\ \Leftrightarrow  - {x^3} + 3{x^2} - 4 = m - 4\end{array}\)

Số nghiệm của phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4\) và đường thẳng  \(y= m - 4\).

\( \Rightarrow \) Để pt \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4\) cắt đường thẳng  \(y= m – 4\) tại 2 đi ểm \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 = 0\\m - 4 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right.\)

Câu 2: B

\(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 2\)

TX Đ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' =  - 3{x^2} + 6x\\y' = 0\\ \Rightarrow  - 3{x^2} + 6x = 0\\ \Leftrightarrow x( - 3x + 6) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bảng biến thiên, điểm cực đại của hàm số: \(x=2\)

Câu 3: D

Xét \(y = {x^4} - 3{x^2} - 5\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 6x\\y' = 0\\ \Rightarrow 4{x^3} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\\x =  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên

Từ  bảng biến thiên, số giao điểm của đồ thị \(y = {x^4} - 3{x^2} - 5\) với  trục hoành là 2.

Cách khác:

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\) ta được:

\({t^2} - 3t - 5 = 0\) có \(ac < 0\) nên pt có hai nghiệm t trái dấu (nghiệm dương nhận, nghiệm âm loại)

Do đó pt đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

Câu 4: D

\(\begin{array}{l}
y' = 3{x^2} - 2\\
\Rightarrow k = y'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 2 = 1
\end{array}\)

Câu 5: D

\(y =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + mx\)

Txđ : \(D = \mathbb{R}\)

\(y' =  - {x^2} + 2x + m\)

Hàm số \(y =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + mx\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \le 0\;\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + m \le 0\;\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\;\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 1 + m \le 0\;\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le  - 1\end{array}\)

Câu 6: D

\(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\)

TXĐ : D=\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = 2\\ \Rightarrow TCN:y = 2\\\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty \end{array} \right\} \Rightarrow TCĐ:x = 1\end{array}\)

Câu 7: D

y=x³ – 3x

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 3\\y' = 0\\ \Rightarrow 3{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên \(( - \infty , - 1)\) và \((1, + \infty )\); nghịch biến trên \(( - 1,1)\)

Câu 8: B

\(y = {x^3} + 1\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2}\\y' = 0 \Rightarrow 3{x^2} = 0 \Rightarrow x = 0\end{array}\)

Từ bbt, hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Câu 9: C

Hàm số có ba điểm cực trị. (Đúng)          

Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. (Đúng)

Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. (Sai vì Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0)

Hàm số có hai điểm cực tiểu. (Đúng)

Câu 10: A

\(f\left( x \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - m\)

Số nghiệm của phương trình \(\) chính bằng số giao điểm của đths y=f(x) và đường thẳng y= -m 

Để \(f\left( x \right) + m = 0\) có 3 nghiệm pb thì đths y = f(x) cắt đường thẳng y=-m tại 3 điểm

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 1 < - m < 2\\ \Leftrightarrow  - 2 < m < 1\\ \Rightarrow m \in \left( { - 2,1} \right)\end{array}\)    

Câu 11: D

Xét pt:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + 2{\rm{         }}\left( {{\rm{Dk: x}} \ne {\rm{2 }}} \right)\\ \Rightarrow x + 1 = {x^2} - 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\\{x_N} = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Do I là trung điểm của MN nên \({x_I}  = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2} + \frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}}}{2}= \dfrac{1}{2}\)

Câu 12: A

Đáp án A: tâm đối xứng \(I\left( { - 3;2} \right)\) \( \Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \)

Đáp án B: tâm đối xứng \(I\left( { - 1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \)

Đáp án C:

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^2} - 6x\\y'' = 12x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow y\left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \frac{5}{2}\end{array}\)

tâm đối xứng \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) \( \Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\)

Đáp án D:

\(\begin{array}{l}y' =  - 3{x^2} + 3\\y'' =  - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\\ \Rightarrow y\left( 0 \right) =  - 2\end{array}\)

tâm đối xứng \(I\left( {0; - 2} \right)\) \( \Rightarrow OI = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\)

Vậy điểm cách O khoảng lớn nhất là \(I\left( { - 3;2} \right)\).

Chọn đáp án A.

Câu 13: C

C sai vì có thể xảy ra TH hàm số đơn điệu trên R nên không có cực trị.

Câu 14: D

\(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Xét pt hoành độ: \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

 \(\begin{array}{l}y' = \dfrac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\\ \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Vậy pt tiếp tuyến của ( C) tại giao điểm của c với trục hoành: \(y = \dfrac{1}{3}\left( {x - 1} \right)\)

Câu 15.

Hàm số có giá trị cực tiểu \(y =  - 2\) nên A sai.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và đạt cực đại tại \(x = 0\) nên B đúng.

Chọn B.

Câu 16.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - 2}}\) có đường TCN là \(y = 2\) hay \(y - 2 = 0\).

Chọn D.

Câu 17: B

\(y = \dfrac{1}{4}{x^4} - 2{x^2} + 3\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = {x^3} - 4x\\y' = 0 \Rightarrow {x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Từ BBT, hàm số ĐB trên \(\left( { - 2,0} \right)\)và \({\rm{(2, + }}\infty {\rm{)}}\); NB trên \(( - \infty , - 2)\) và \(\left( {0,2} \right)\) 

Câu 18: D

TCĐ: \(x = 1\) loại C.

Đths đi qua điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) nên loại A,B.

Câu 19: D

\(y' =  - \frac{8}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\)

Câu 20:B

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1\)

\(\begin{array}{l}
y' = {x^2} - 4x + 3\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên (1,3).

Câu 21.

Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\).

Chọn B.

Câu 22.

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\) thì \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số.

Chọn B.

Câu 23.

Hàm số bậc ba nếu có cực đại thì có cả cực tiểu vì hàm số bậc ba chỉ có thể có hai điểm cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Chọn C.

Câu 24.

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } y =  + \infty \) thì \(x = {x_0}\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Câu 25.

Đồ thị hàm số bậc ba có duy nhất 1 tâm đối xứng.

Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của đạo hàm cấp hai.

Chọn A.