Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Đề số 3 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại B có trọng tâm là G. Biết rằng \(AB = 3\) và \(AC = 5\). Tính độ dài của các véctơ \(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} \).

Câu 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi E và F là các điểm xác định bởi \(\overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF}  = \dfrac{2 }{ 5}\overrightarrow {AC} \)

a.Hãy biểu diễn các véctơ \(\overrightarrow {GE} \) và \(\overrightarrow {GF} \)theo các véctơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

b.Chứng minh ba điểm G, E, F thẳng hàng.

Câu 3. Cho tam giác ABC và một đường thẳng \(\Delta \). Tìm trên \(\Delta \) điểm M sao cho véctơ \(2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \)có độ dài ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Theo Pitago \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4.\)

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {9 + 4} \)\(\, = \sqrt {13} \) .

Ta có \(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {CB} .\) Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 4\) .

Tương tự \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) .

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM\)\(\, = \dfrac{2 }{3}AM = \dfrac{2\sqrt {13} } { 3}\) .

Câu 2.

a.Ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {GE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AG}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;= 2\overrightarrow {AB}  - {2 \over 3}\overrightarrow {AM}   \cr  & \;\;\;\;\;\;\;= 2\overrightarrow {AB}  - {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\cr& \;\;\;\;\;\;\;= {5 \over 3}\overrightarrow {AM}  - {1 \over 3}\overrightarrow {AC}  \cr} \)

\(\eqalign{  & \overrightarrow {GF}  = \overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {AG}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;= {2 \over 5}\overrightarrow {AC}  - {2 \over 3}\overrightarrow {AM}   \cr  & \;\;\;\;\;\;\; = {2 \over 5}\overrightarrow {AC}  - {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\cr&\;\;\;\;\;\;\; =  - {1 \over 3}\overrightarrow {AM}  + {1 \over {15}}\overrightarrow {AC}  \cr} \)

b. Ta có \(\overrightarrow {GE}  =  - 5\overrightarrow {GF} \) . Suy ra \(\overrightarrow {GE} \) và \(\overrightarrow {GF} \) cùng phương nên G, E, F thẳng hàng.

Câu 3.

Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI.

Ta có

\(2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \)

\(= 2\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MI} \)

\(= 2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MI} } \right) = 4\overrightarrow {MJ} \)

Do đó \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\)\(\, = \left| {4\overrightarrow {MJ} } \right| = 4MJ\)

Suy ra \(2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \) có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi 4MJ ngắn nhất. Điều này xảy ra khi M là hình chiếu của J trên \(\Delta \) .